奥数(排列与组合)

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时间:2018-07-08

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1、排列组合应用题的教学设计致远高中朱英2007.3解决排列组合应用题的基础是:正确应用两个计数原理,分清排列和组合的区别。引例1现有四个小组,第一组7人,第二组8人,第三组9人,第四组10人,他们参加旅游活动:(1)选其中一人为负责人,共有多少种不同的选法。 (2)每组选一名组长,共有多少种不同的选法4评述:本例指出正确应用两个计数原理。引例2(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?评述:本例指出排列和组合的区别。求解排列组合应用题的困难主要有三个因素的影响:1、限制条件。2

2、、背景变化。3、数学认知结构排列组合应用题可以归结为四种类型:第一个专题排队问题重点解决:1、如何确定元素和位置的关系元素及其所占的位置,这是排列组合问题中的两个基本要素。以元素为主,分析各种可能性,称为“元素分析法”;以位置为主,分析各种可能性,称为“位置分析法”。例:3封不同的信,有4个信箱可供投递,共有多少种投信的方法?分析:这可以说是一道较简单的排列组合的题目了,但为什么有的同学能做出正确的答案(种),而有的同学则做出容易错误的答案(种),而他们又错在哪里呢?应该是错在“元素”与“位置”上了!法一:元素分析法(以信为主)第一步:投第一封信,有4种不同的

3、投法;第二步:接着投第二封信,亦有4种不同的投法;第三步:最后投第三封信,仍然有4种不同的投法。因此,投信的方法共有:(种)。法二:位置分析法(以信箱为主)第一类:四个信箱中的某一个信箱有3封信,有投信方法(种);6第二类:四个信箱中的某一个信箱有2封信,另外的某一个信箱有1封信,有投信方法种。第三类:四个信箱中的某三个信箱各有1封信,有投信方法(种)。因此,投信的方法共有:64(种)小结:以上两种方法的本质还是“信”与“信箱”的对应问题。2、如何处理特殊条件——特殊条件优先考虑。例:7位同学站成一排,按下列要求各有多少种不同的排法;甲站某一固定位置;②甲站在

4、中间,乙与甲相邻;③甲、乙相邻;④甲、乙两人不能相邻;⑤甲、乙、丙三人相邻;⑥甲、乙两人不站在排头和排尾;⑦甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻;⑧甲、乙两人必须相邻,且丙不站在排头和排尾。第二个专题排列、组合交叉问题重点解决:1、先选元素,后排序。例:3个大人和2个小孩要过河,现有3条船,分别能载3个、2个和1个人,但这5个人要一次过去,且小孩要有大人陪着,问有多少种过河的方法?分析:设1号船载3人,2号船载2人,3号船载2人,小孩显然不能进第3号船,也不能二个同时进第2号船。法一:从“小孩”入手。第一类:2个小孩同时进第1号船,此时必须要有大人陪着另外2个大人

5、同时进第2号船或分别进第2、3号船,先选3个大人之一进1号船,有(种)过河方法第二类:2个小孩分别进第1、2号船,此时第2号船上的小孩必须要有大人陪着,另外2个大人同时进第1号船或分别进第1、3号船,有过河方法(种)。因此,过河的方法共有:(种)。法二:从“船”入手第一类:第1号船空一个位,此时3条船的载人数分别为2、2、1,故2个小孩只能分别进第1、2号船,有过河方法(种);第二类:第2号船空一个位,此时3条船的载人数分别为3、1、1,故2个小孩只能同时进第1号船,有过河方法(种);6第三类:第3号船空一个位,此时3条船的载人数分别为3、2、0,故2个小孩同

6、时进第1号船或分别进第1、2号船,有过河方法(种)。因此,过河的方法共有:(种)。1、怎样界定是排列还是组合例:①身高不等的7名同学排成一排,要求中间的高,从中间看两边,一个比一个矮,这样的排法有多少种?②身高不等的7名同学排成一排,要求中间的高,两边次高,再两边次高,如此下去,这样的排法共有有多少种?答:①种②=8种本来①是组合题,与顺序无关,但有些学生不加分析,看到排队就联想排列,这是一个误区。至于②也不全是排列问题,只是人自然有高低,按人的高低顺次放两边就是了。又例:7名同学排成一排,甲、乙、丙这三人的顺序定,则不同排法有多少种?分析,三人的顺序定,实质

7、是从7个位置中选出三个位置,然后按规定的顺序放置这三人,其余4人在4个位置上全排列。故有排法=840种。3、枚举法三人互相传球,由甲开始传球,并作为第一次传球,经过5次传球后,球仍回到甲手中,则不同的传球方式共有(A)6种(B)8种(C)0种(D)12种解:(枚举法)该题新颖,要在考试短时间内迅速获得答案,考虑互传次数不多,所得选择的答案数字也不大,只要按题意一一列举即可。6第三个专题分堆问题重点解决:1、均匀分堆和非均匀分堆关于这个问题,课本P146练习10如此出现:8个篮球队有2个强队,先任意将这8各队分成两个组,(每组4个队)进行比赛,这两个强队被分成在

8、一个小组的概率是多少?由于课本后面出现

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