6-7学人教a版选修-..椭圆的简单几何性质学案

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1、2．2.2　椭圆的简单几何性质图中椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．问题1：椭圆具有对称性吗？提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形．问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？提示：可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？提示：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？提示：b越小，椭圆越扁．(1)椭圆的简单几何性质：焦点

2、的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距

3、F1F2

4、＝2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝(0

5、则椭圆越接近于圆．1．椭圆的范围从图形上看非常直观，就是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围．利用椭圆的范围可解决有关求范围或最值问题．设P(x，y)为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点，由图形易知当x＝0时，

6、OP

7、取得最小值b，此时P位于椭圆短轴端点处；当x＝±a时，

8、OP

9、取得最大值a，这时P位于长轴端点处．2．椭圆的顶点是它与坐标轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上，且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴，因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上．3．椭圆中的基本关系：①焦点、中心和短轴端点连线构成直角三角形，三边满

10、足a2＝b2＋c2；②焦点到长轴邻近顶点的距离为a－c(又称近地距离)，到长轴另一顶点的距离为a＋c(常称为远地距离)．第一课时　椭圆的简单几何性质椭圆的简单的几何性质　　[例1]　求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[思路点拨]　化为标准方程，确定焦点的位置及a，b，c的值，再研究相应几何性质．[精解详析]　将椭圆方程变形为＋＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝＝＝.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，

11、B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝＝.[一点通]　已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．1．若椭圆＋y2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D.解析：由椭圆方程知长轴长为2a，短轴长为2，∴2a＝2×2＝4，∴a＝2，∴c＝＝，∴e＝＝.答案：A2．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为

12、＋＝1.∵m－＝>0，∴m>，即a2＝m，b2＝，c＝＝.由e＝得＝，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.∴a＝1，b＝，c＝.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)；四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，－)，B2(0，).利用椭圆的几何性质求标准方程　　[例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.[思路点拨]　解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并设出标准方程，再利

13、用待定系数法求参数a，b，c.[精解详析]　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知得2a＝10，a＝5.e＝＝，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且

14、OF

15、＝c，

16、A1A2

17、＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.[一点通]　利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法．其关键是根据已知条件

18、确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求得参数．3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：由题意2a＝12，∴a＝6.又e＝＝，∴c＝2，∴b2＝62－22＝32，∴椭圆方