6-7学人教a版选修-.3.双曲线的简单几何性质学案

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1、2．3.2　双曲线的简单几何性质有一首歌，名字叫做《悲伤的双曲线》，歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线．如果我是反比例函数，你就是那坐标轴．虽然我们有缘，能够生在同一个平面，然而我们又无缘，漫漫长路无交点……问题1：双曲线的对称轴和对称中心各是什么？提示：坐标轴、坐标原点问题2：在双曲线中，有两条线与双曲线无限靠近，但不能相交，这条直线叫做什么？提示：双曲线的渐近线．问题3：过双曲线的某个焦点平行于渐近线的直线与双曲线有几个交点？提示：只有一个交点．1．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性　　质焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F

2、1(0，－c)，F2(0，c)焦距

3、F1F2

4、＝2c范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R对称性对称轴x轴、y轴，对称中心坐标原点顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝(e＞1)渐近线±＝0或y＝±x±＝0或y＝±x2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝.1．双曲线的焦点和顶点在同一条对称轴上．2．利用双曲线的渐近线可以较为精确地画出双曲线，渐近线是直线x＝±a，y＝±b(或x＝±b，y＝±a)围成的矩形的对角线，它决定了双曲线的形状．3．为了便于记忆，根据双曲线的标

5、准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线标准方程－＝1(a>0，b>0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程±＝0.第一课时　双曲线的简单几何性质已知双曲线的标准方程求其几何性质[例1]　求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[思路点拨]　→→[精解详析]　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程－＝1(m>0，n>0)，由此可知，半实轴长a＝，半虚轴长b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率e＝＝＝，顶点坐标为(－，0)，(，0)，渐近线的方程为y＝±x，即y

6、＝±x.[一点通]　已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的先化成标准方程．弄清方程中的a，b对应的值，再利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．1．(2011·安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)A．2　　　　　　　　　　　B．2C．4D．4解析：双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，2a＝4.答案：C2．已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为(　　)A．4x±3y＝0B．3x±4y＝0C．4x±5y＝0D．5x±4y＝0解析：由已知得，双曲线焦点在x轴上

7、，且c＝5，a＝3，∴双曲线方程为－＝1.∴渐近线方程为－＝0，即±＝0.答案：A由双曲线的几何性质求标准方程[例2]　求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共的渐近线，且过点M(2，－2)．[思路点拨]　→→→[精解详析]　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴标准方程为－＝1或－＝1.(2)法一：当焦点在x轴上时，＝且a＝3，∴b＝.∴所求的方程为－＝1.当焦点在y轴上时，＝且a＝3

8、，∴b＝2.∴所求的方程为－＝1.法二：设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝；当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.∴所求的方程为－＝1和－＝1.(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为－＝1.[一点通]　由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论．为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．若已知双曲线的渐近线方程y＝±x

9、，还可以将方程设为－＝λ(λ≠0)，可避免讨论焦点的位置．3．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为，则其标准方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13.又＝，所以a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1.答案：D4．与椭圆＋＝1共焦点，离心率之和为的双曲线标准方程为________．解析：椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，∴c＝4，e＝，∴双曲线的离心率等于－＝2，∴＝2，∴a＝2.∴b2＝42－22＝1