高考数学一轮复习 第4章 平面向量数系的扩充与复数的引入 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例教师用书 文 北师大版

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1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线第三节　平面向量的数量积与平面向量应用举例[考纲传真]　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．两

2、个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角．(2)范围：0°≤∠AOB≤180°.(3)向量垂直：∠AOB＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b.规定：零向量可与任一向量垂直．2．平面向量的数量积(1)射影的定义设θ是a与b的夹角，则

3、b

4、cosθ叫作b在a方向上的射影(或投影)．(2)平面向量数量积的定义已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，把

5、a

6、

7、b

8、cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b.(3)数量积的几何意义a与b的数量积等于a的长度

9、a

10、

11、与b在a方向上的射影

12、b

13、·cosθ的乘积．3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．结论几何表示坐标表示模

14、a

15、＝

16、a

17、＝数量积a·b＝

18、a

19、

20、b

21、cosθa·b＝x1x2＋y1y2政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不

22、碰底线夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0

23、a·b

24、与

25、a

26、

27、b

28、的关系

29、a·b

30、≤

31、a

32、

33、b

34、

35、x1x2＋y1y2

36、≤·4.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．(　　)(2)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0

37、.(　　)(3)由a·b＝a·c及a≠0不能推出b＝c.(　　)(4)在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形.(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×2．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．120°A　[因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝

38、

39、

40、

41、cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主

42、义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线ABC＝30°.故选A.]3．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)A．－1B．0C．1D．2C　[法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.法二：∵a＝(

43、1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.]4．(教材改编)已知

44、a

45、＝5，

46、b

47、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的射影为________．－2　[由数量积的定义知，b在a方向上的射影为

48、b

49、cosθ＝4×cos120°＝－2.]5．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.－　[∵a⊥b，∴a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，

50、∴x＝－.]平面向量数量积的运算　(1)(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)A．－　　B．　　C．　　D．(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________.【导学号：66482208】(1)B　(2)1　1　[(1)如图所示，＝＋.又D，E分别为AB，BC的中点，