数值计算基础习题集

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1、《数值计算基础》习题集第1章引论1、己知，求近似值的有效数字位数、绝对误差限和相对误差限。2、下列各数均为四舍五入得到，指出它们各具有几位有效数字及绝对误差限和相对误差限:3、(1)6000(2)7000.00(3)2.0002将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差。(1)2.1514(2)-392.85(3)0.0039224、已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差:(1)13267(2)0.2965、己知各近似值及其绝对误差,试确定各数的冇效位数。6、(1)0.39

2、41(2)293.481⑶0.00381已知各近似值及其相对误差,试确怎各数的有效位数。(1)1.8921(2)22.351(3)48361注：相对误差与有效数字的关系请使用以下定理定理:设x是准确值,x*是近似值=±0.x}x2...xnxlOA(fceZ),其中xi,x2,...,xn都是0~9十个数字之一，且西工0。（1）若x*有n位有效数字，则其相对误差限为—X10-,,+1o2a：j（2）若汕的相对误差限为一i—xl0-w+,,则x*有n位有效数字。2（坷+1）参考答案1、有效数字位数

3、4位，，2、（1）4位,,（2）6位,，（3）5位,，3、（1）2.15,,(2)-393,,(3)0.00392,,4、(1)(2)5、(1)2位(2)3位(3)2位6、(1)3位(2)1位(3)2位第2章解线性方程组的直接法1、用高斯顺序消元法解线性方程组2、用高斯列主元消去法解线性方程组j-1r~-4~5-43兀2=-1221i・兀3.113、用Doolittle三角分解法求解方程组_42-2__8_22-2兀2=4_-2-313__54、求矩阵的Crout三角分解_42-222-2-2-

4、3135、求矩阵的Cholesky三角分解164845-48-422参考答案1、2、42-22-22-2-3134=21-2-2丄_12_2_1648_'4__412_5、45-4——122-3_8-422_2-33_3_第3章插值法与最小二乘法1、已知有尸f(x)的函数表X012y264分别使用待定系数法、Lagrange插值法、Newton插值法求其插值多项式，并给出余项。2、已知函数=的一组数据：X012y10.50.2求分段线性插值函数，并计算/(1.5)的近似值。3、已知插值基函数<3

5、"0，1，…/，证明：当m

6、(x)=10-13x+5x2余项：/(X)-H2(x)=(x-1)2(x-2)5、g](无)=0・8+3.1兀6、2311第4章数值积分与微分1、给出数值积分公式：ch1—3确定A、B使得该数值积分公式的代数精度尽可能的高，并确定其代数精度为多少?2、试确定求积公式丄f(x)dx-/(—吉)+/(法)的代数精度。3、证明Newton-Cotes系数满足£c；”)=1/=04、fl1分别用梯形公式、S咖如公式W时复合梯形公式计算5、6、使用龙贝格算法计算［于書，计算到&已知有y二f(x)的函数表如

7、下X012y264利用数值微分三点公式计算/Z(l)的近似值。参考答案1、2、13A=—h,B=—h，代数精度：2次22代数精度：3次3、提示：令f(x)=l4、0.75,25/36,0.697Tl=TI牛s严琴6、1第5章常微分方程数值解法1、取/7=0.1,用改进欧拉法的预报一校正公式求初值问题[y=-yb(o)=i在x=0.1?0.2处的近似值.计算过程保留3位小数[y=f(x,y)2、解常微分方程初值问题:["的欧拉公式为儿°二儿+加•(百，儿)[>'(兀0)=Jo1)试用近似求积公式j

8、y(x)^^(b-a)f(a)推导出该公式。2)证明该公式精度为一阶3)若，取步长h=0-2'使用该公式计算>'(0.4)的近似值。3、对初值问题f/=fa,y)〔)'(《))=>0试用数值积分法在区间[xn,xH+1]或[£_】,xn+l]上对)/=/(x,y)两边积分，分别导出公式梯形公式：儿+

9、=儿+£(九+九+i)中点公式：儿+i=儿_

10、+2僻”hSimpson公式：儿+

11、二儿一+y(A_i+4九+九和)并给岀各公式的局部截断误差。参考答案1、y(0.1)uy讦0.905y(0.2)-y