计数原理、排列组合的题目型与方法

《计数原理、排列组合的题目型与方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、实用标准文案计数原理、排列组合题型与方法☆基本思路：大的方向分类，类中可能有步或类例1：架子上有不同的2个红球，不同的3个白球，不同的4个黑球.若从中取2个不同色的球，则取法种数为________.解：先分类、再分步，共有取法2×3＋2×4＋3×4＝26种.故填26.☆基本思路：大的方向分步，步中可能有类或步例1：如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有()A．11种B．20种C．21种D．12种解：分两步，第一部分接通，则可能有一个接通或者两个都接通，有3种可能；第二部分接通，则可能恰有一个接通或恰有两个接通或者都接通

2、，有7种可能。从而总共有种方式。☆基本思路：排除法间接求解例1：()电路如图所示，在A，B间有四个开关，若发现A，B之间电路不通，则这四个开关打开或闭合的方式有(　　)A.3种B.8种C.13种D.16种解：各个开关打开或闭合有2种情形，故四个开关共有24种可能，其中能使电路通的情形有：1，4都闭合且2和3中至少有一个闭合，共有3种可能，故开关打开或闭合的不同情形共有24－3＝13(种).故选C.☆剔除重复元素例1：()从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数

3、是(　　)A.9B.10C.18D.20解：lga－lgb＝lg，而＝，＝，故所求为A－2＝18个，故选C.☆投信问题例1：将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有(　　)A.53种B.35种C.3种D.15种解：第1封信，可以投入第1个邮筒，可以投入第2个邮筒，也可以投入第3个邮筒，共有3种投法；同理，后面的4封信也都各有3种投法.所以，5封信投入3个邮筒，不同的投法共有35种.故选B.精彩文档实用标准文案例2：有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好

4、参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．解　(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝

5、216(种)．☆数字排列问题例1：用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数.(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个不同的四位偶数？解：(1)直接法：AA＝300；间接法：A－A＝300.(2)由题意知四位数的个位上必须是偶数，同时暗含了千位不能是0，因此该四位数的个位和千位是“特殊位置”，应优先处理；另一方面，0既是偶数，又不能排在千位，属“特殊元素”，应重点对待.解法一：(直接法)0在个位的四位偶数有A个；0不在个位时，先从2，4中选一个放在个位，再从余下的四个数(不包括0)中选一个放在千位，应有

6、AAA个.综上所述，共有A＋AAA＝156(个).解法二：(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有AA个，其中千位是0的有AA个，故适合题意的数有AA－AA＝156(个).点拨：本例是有限制条件的排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意题中隐含条件0不能在首位.例2：用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．解析　数字2，3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C＝4(个)四位

7、数．精彩文档实用标准文案“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C＝6(个)四位数．“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C＝4(个)四位数．综上所述，共可组成14个这样的四位数．例3：()如果正整数M的各位数字均不为4，且各位数字之和为6，则称M为“幸运数”，则三位正整数中的“幸运数”共有____________个.解：不含4，且和为6的三个自然数可能为(1，2，3)，(1，5，0)，(2，2，2)，(3，3，0)，(6，0，0).因此三位正整数中的“幸运数”有A＋2A＋1＋A＋1＝14(个).故填14.☆错位排列例1

8、：将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格中，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有________种．解析　编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字3，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字4，共有3种不同填法．于是由分类加法计数原理，得共有