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《2016-2017学年人教a版选修4-5综合法与分析法教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、课题：第02课时不等式的证明方法之二：综合法与分析法教学目标：1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。2、了解分析法和综合法的思考过程。教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。教学过程：一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析
2、法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。二、典型例题：例1、已知a,h,c>0,且不全相等。求证：a(b~+c2)+/?(c2+a2)+c(a2+/?2)>6ahc分析：用综合法。例2、设6/>0,/?>(),Ma3+h3>a2h+ab证法一分析法要证a3+b3>a2b+ab2成立.只需证(d+bX。，一ab+Aab(a+b)成立,又因d+b>0,只需证a2-ab+h2>ah
3、成立，又需证a2一2ah+h2>0成立，即需证(a-b)2>0成立.而(a-b)2>0显然成立.由此命题得证。证法二综合法(a_n0=>ci"—2ab+n0=>ci~—cib+ncib注意到q>0,/?>0,即a+b>0,由上式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),从而/+b‘>a2b+ab2成立。议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例3、已知a,证法一要证要证要证已知b,m都是正数，并且a3.b+mb(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4),只需证Z?(q+m)>a(b+m),只需证bm>am,只需证b>a成立，所以(
4、1)成立。(1)上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二因为b>a.m是正数，所以bm>am两边同时加上db得b(a+m)>a(b+m)两边同时除以正数b(b+m)得(1)□例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。分析：当水的流速相同吋，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为-则周长为.的圆的半径为石截面积为7T;周长为厶的正方形为£截血积为O所以本题只需证明彳吕)(L、2a2+/?2>2ab(2)b2+c2>lbc(3)c~+<72>2ca(4)所以三式相加得2(/+b2+c
5、2)>2(cib+be+cd)(5)两边同时除以2即得(1)。(4丿证明：设截面的周长为厶，则截面是圆的水管的截面面积为j,截面是正方形的水管的截面面积为0只需证明：*2]>f-l0(4丿匕龙丿(4丿t2为了证明上式成立，只需证明J>—。4龙216411两边同乘以正数得：->-0因此，只需证明4>71°137t4上式显然成立，所以龙这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。例5、证明：a2+c2>ab+bc+cao证法一：因为证法二：a2+b2+c2一(ab+be+ca)=丄(a-b)2+丄(b-c)2+丄
6、(c-a)2>0,222所以(1)成立。例6、证明：(a2+/?2)(c2+J2)>(ac+bd)2.(1)证明(1)o(a2+/?2)(c2+d2)-(ac+bd)2>0(2)oa2c2+b2c2+a2d2+b2d2-(a2c2+2abcd+b2d2)>0(3)ob2c2+a2d2-2abcd>0(4)0(be-ad)1>0(5)(5)显然成立。因此(1)成立。例7、已知d,b,c都是正数，求证a3+h3+c3>3ahc.并指出等号在什么时候成立?分析：本题可以考虑利用因式分解公式a3+Z?3+c3-3abc=(a+b+ca2+b2+c2-ab-bc-ca)着手。证明：a3+
7、b'+c3一3cibc二(。+/?+0.而（a_+（Z?-c）2+（c-a）?>0,可知/+戾+c3-3abc>0即a3+Z?3+c3>3abc（等号在a=b=c时成立）探究：如果将不等式a3+h3+c3>3ahc中的abc3分别用a,b,c来代替，并在两边同除以3,会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：（l+a+b）（l+方+c）（l+c+a）>27,其中a,h,c是互不相等的正数，
