2015-2016学年人教a版选修2-2数学归纳法教学设计

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1、数学归纳法教学设计周村区实验中学申璨臻【教学目标】（1）知识与技能：①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；②会用数学归纳法证明某些简单的为正整数有关的命题；③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论。（2）过程与方法：努力创设愉悦的课堂气氛，使学牛处于积极思考，人胆质疑的氛围屮，提高学牛学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。（3）情感态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的

2、数学能力。【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的棊本思想，掌握它的基木步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数〃冇关的数学命题；【教学难点】数学归纳法中递推关系的应用。【辅助教学】多媒体技术辅助课堂教学。【教学过程】•、创设问题情境，启动学牛思维（说明引入数学归纳法的必要性）（情景一）问题1：大球中冇5个小球，如何证明它们都是绿色的？问题2：如果｛陽｝是一个等差数列，怎样得到色=q+（/7-l）d?（情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想

3、。归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。（情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何保证骨牌一一倒K?需耍几个步骤才能做到?二、搜索牛•活实例，激发学牛•兴趣展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全部倒下？(山多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境三的问题。)①第一块骨牌必须要倒下②任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下相当于能推倒第一块骨牌相当于第k块骨牌能推倒第k+1块骨牌二、师牛•合作，形成概念。一般地，证明-•个与

4、正整数〃冇关的命题，可以按照以下步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当刃取第一个值勺时命题成立；(2)(归纳递推)假设n=k(k>fi，ke^)时命题成立，证明当n=k+1命题也成立.完成这两个步骤后，就可以断定命题对从如开始的所冇正整数〃都成立。上述这种证明方法叫做数学归纳法。I丿L

5、、讲练结合，巩固概念类型一用数学归纳法证明等式例1：用数学归纳法证明：12+224-32+...+m2=/?(/7+1)(2/?+1)6证明：(1)当,2=1时，左边：12=1,右边：1X(1+1)X(2+1)=],左边二右边，等式成立。6(2)假设当兄二饥kwNj吋等式成立，即12+22+32

6、+...+/二'伙+1)(2"1)伙waT)6则当n=k^(keNj时，左边Hl"%+•••+/+("1)2邛(£+1)(221)+仏+厅6(k+1)伙+2)(2k+3)丿.、寸=二右边6即当n=k+时，等式也成立。由(1)，(2)得：对VhgN等式12+22+32+...+«2=Z?(7?+1)(2z?+1)成立6【方法技巧】证明中的几个注意问题：(1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明应根据具体情况而定.(找准起点，奠慕要稳)(2)在第二步中，证明n=k^命题成立时，必须用到n=k命题成立这一归纳假设，否则就打破数学归纳法步骤ZI'可的逻辑严密关系，造成推理

7、无效.(用上假设，递推才真)(1)明确变形目标(写明结论，才算完整)变式训练：用数学归纳法证明：lx2+2x3+3x4+・・・+〃(〃+l)=丄/?(斤+1)(刃+2)证明：(1)当〃=1时，左边=1x2=2,右边=lxlx2x3=2,左边二右边，等式成立;3(2)假设当n=k时，等式成立，即1x2+2x3+3x4+…+心+1)=丄心+1)伙+2),3则当n=k+1时Ix2+2x3+3x4R(k+l)+(R+l)(R+2)二丄£伙+1)/+2)+伙+1)(£+2)=耳+1]伙+1)伙+2)(3丿1厂卄二一仏+1)仏+1)+1伙+1)+23L」l所以几=k+l,公式成立，由(

8、1)(2)可知，当刃wN"时，公式1x2+2x3+3x4+・・・+7?(7?+1)=—n{n+1)(m+2)〃戈立.类型二归纳——猜想——证明「例2：已知数列而，而，顽](3〃一2)(3〃+1)S”为该数列的询5项和,计算5*2*3，,，根据计算结果,猜想，的表达式，并川数学归纳法进行证明.52_5,+4x7_2817x1021703io31404I——1010x1313013根据上述结果，猜想X科证明：⑴当“1时，左边詁冷，右边=衣冷冷，猜想成立,(2)假设当n=k(kwNj吋猜想成立，即1111k1x4+4x7