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《2011年自主招生华约数学试题解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2011年华约试题解析-、选择题⑴设叫满足心证+勻弓则心A?鷺C-D-15.5解:由迈+—
2、=_得lzP+l=—Izl，已经转化为一个实数的方程。解得Izl=2(舍(2)在正四棱锥P-ABCD中,M、N分别为PA、PB的中点,且侧面与底面所成二面角的正切为血。则异1何直线DW与AW所成角的余弦为()A-B丄C-D—36812［分析］本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件來确定其余的要素。木题中可假设底面边长为己知(不妨设为2),利用侧而与底而所成二面角可确定其他耍素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，-•种是建立处标系，另一种是平移其中一•条线
3、段与另一条在一起。解法一：如图，设底面边氏为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为血得高为a/2o如图建立坐标系，则A(l,・1,0),B(l,1,0),C(-l,1,0),D(-l,・1,0),P(0,0,成的角为°、贝'Jcos0=DMAN_1
4、da7
5、
6、P
7、=6°解法二：如图，设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为、伍得高为41o平移DM与AN在一起。即M移到MD移到CD的中点Q。于是QN=DM=AN°而朋二PB=AB=2,所以QN=AN=巧，而AQ=厉，容易算岀等腰&AQN的顶角cosZANQ=—o解法三：也可以平移4N与DM在一起。即4移到M,N移到PN的中点0。以下
8、略。⑶过点(・1,1)的直线/与曲线相切，H.(・l,l)不是切点，则直线/的斜率为()A2BlC-lD-2此题有误，原题丢了，待重新找找。(4)若A+B=—,则cos2/4+cos2B的绘小值和最大值分别为()A申B-件将中+¥［分析］首先尽可能化简结论屮的表达式cos2A+cos2沿着两个方向：①降次:把三角函数的平方去掉；②去角：原來含两个角，去掉一个。解:cos2A+cos2B=1+cos24+21+cos25~~2=1+—(cos2A+cos2B)=l+cos(A+B)cos(A-B)=1cos(A一B),可见答案是b2(5)如图，eq和eq外切「•点C,eq,eQ乂都和eO
9、内切，切点分别为［分析］题Fl中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化-下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：bOOO边0/。2上一点C,00?、002延长线上分别一点A、B,使得0］A=O］C,02B=O2co解法一：连接0］。2，C在上，则A00}02+A0020x=7T-a,上0/C二ZQC4二*ZOQQ,ZO2BC=ZO2CB=^0020,,故ZO.CA+ZO2CB=-(Z00}02+ZOO?。"=,77+a=(ZO.CA+ZO2CB)=,sin/?=cosyo解法二：对丁选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在TT—CL本题中假设两个小圆的半径相
10、等，则Z00}02=Z0020,=—,ZO.CA=ZO.CB=-Z00.0.=乞乂121-4Tl*ClC1P=ti-(ZO.CA+ZO2CB)=——,sin0=cos—。22(6)己知异面直线d,b成60°角朋为空间一点则过A与a』都成45°角的平面()A有且只有一个B有且只有两个C有且只有三个D有且只有四个［分析］已知平面过A,再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设eb为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交直线-b成60°角，求空间中过交点与d,b都成45°角的直线。答案是4个。(7)已知向量a=(0,1),^=(-—,--),
11、c=(―+yb+zc=(1,1)<2/4^x2+/+?的最小值为()43AlB-C-D212解：由+yb+zc=(1,1)得12由于/+y2+z2“+()*)+()r),可以用换元法的思想，看成关于Q),2y—z——7=+z,y・z三个变量，变形
12、V3，代入y+z=2(兀_1)兀2+),2+z2“+(y+z)2+(y-"/+2(_1)2+
13、=3宀仏+*3(_
14、)W，答案B则Z4C3的正切值为()c也3解法一:焦点F(1,0),C(-1,解得A(3+2V2,2+2V2),B⑻AB为过抛物线/=4x焦点F的弦，O为坐标原点，且ZOFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点，a30),AB方
15、程y=x-1,与抛物线方程y2=4x联立,(3-2血,2-2血)，于是A2^2B也5"2+2茫二迄r2_2炸_返,伽/心二=2近,答1+2©24-2^221+紜Ab案A解法二如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD中，Z^4D=45°,EF//DA.EF=2.AF=AD,BF=BQ求ZAEBoADEGFt…tanZ.AEF=仙山茴/2。类似的’右ZAEB=ZAEF+ZBEF=2ZAEF,tanZAEB=tan2ZAEF=2^2,
