2014年自主招生数学模拟试题(卓越联盟)参考答案

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1、2014年“卓越联盟”自主招生数学模拟试题参考答案一、选择题(本大题共小4题，每小题5分，共20分)1•没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为()195454254(£>)4160解：所有三位数的个数：C；•霍=648个。被3整除的冇：0,3,6,9。被3整除余1的冇:1,4,7,被3整除余2的冇：2,5,&所冇能被3整除的数共冇：N=2Al+=228个。ooqIg1g35被3整除的概率：P=—=—f不能被3整除的概率为：1-丄648545454答案：选B。2在四面体磁。中，设任口"，直线AB与CD的距离为2,夹

2、角为彳,则四面体ABCD的体积等于()C(A)平(B)

3、(C)

4、(D)平解：如图，把四而体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=lxV3xsin-x2=33而四面体ABCD的体积=丄X平行六面体体积=丄•62答案：选B.3.已知39>7‘，37>74,设x=0.82°'5,y=sin1,z=log3V7,则的大小关系为()A.x0.8105=0.9sinl75^1.8>log37,矢fl0.9>log

5、3>/7,故z7434<7«3175<7,知3込<7,^3

6、)=o,所以/(—1)=一/(1)=0,所以/(0)=/(Ox(-D)="°)+"T)=-/(0),所以/(())=0.又因为f(x)=f(lxx)=/⑴+“)=竺("0,-1),x+1兀+1所以f(x)=O.因此，/(%)=0(兀w/?).答案：C二、填空题（本大题共小4题，每小题6分，共24分）（x-1）3+2014（x-1）=-15.设为实数，且满足彳°:）、贝Ux+y二（y-1）+2014（）—1）=1答案：2解:原方程组即z：54(T+t(1-y)+2014(l-y)+1=0令/(x)=/3+2014r+l,f/

7、(x)=3r+20l4>0.故/(x)单调增，Xx-l=l-y^x+y=26.设点O在4ABC的内部，且有鬲+2亦+3况=0,WOAABC的面积与A40C的面积的比为答案：320C=CC{；解：延长0B到使得OB=BB「延长0C到C「使得如图，设MOC=S,则40C£=3S,3、OED=AOBC、=3S,AAOB=AOBD=-S.OBC=-S,所以ABC=3S.27.设/(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=%2,若对任意的xg[tz,6z+2J,不等式/(兀+Q)>2/(%)恒成立，则实数a的取值范

8、围是.答案：a>y/2解：因为/(兀)是定义在R上的奇函数，R当兀时，/(x)=x2,所以fM=x2,x>0—x,x<0故有2/(兀)=/(岳),故、f(x+a)A2f(兀)of{x+a)>/(V2x)因为/(兀)是R上的增函数，所以x+aA迈xa>(V2-l)x>(V2-l)(6(+2)a>y/28.已知椭[Hl—+^-=1的左右焦点分别为F「与耳，点P在直线/：兀-巧y+8+2命=016412PF上.当ZF.PF,取最人值时，比一的值为PF2解：由平面几何知,要使ZFfF?最大,则过件笃,P三点的圆必定和直线Z相切于

9、点P・直线/交兀轴于>4(-8-273,0),贝iJZAPF,=ZAF.P,即APF^^F2P,即PFAPPF2af2⑴又由圆幕定理,APf=AF^AF2(2)而F,(―2的,0),F2(2^3,0),A(-8-2^3,0),从而有AF]=&

10、人打=8+4希・代入⑴，⑵得,PR88+4a/3=-/4—2a/3=V3-1.三、解答题：木大题共小4题。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。9.（本题13分）在ABC中,角A、B、C对边分别为a.b.c。证明:a2-h2sin(A-B)sine证明:方法1：由

11、正弦定理得左边_sii?A-sii?B_(sinA+sinB)(sinA-sinB)丄匚sin2Csin2C.A+B£A_B+B・A—B2sinCOS2COSsin-2222sin2C=二右边sinC到第一个“二”右边的式子3分，到笫二个“二”每个右边的式子5分,到第三个“二”每个右边的式了10分，到授