2014年自主招生数学模拟试题(北约联盟) 参考答案

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1、2014年“北约联盟”自主招生数学模拟试题参考答案一、选择题（每题8分，共48分）1.点，抛物线上动点，则的最小值为（）解：抛物线的焦点有（因为抛物线上点到焦点距离和到焦线距离相等）。所以。当为与抛物线的交点时取等号，故最小值为6。答案：2.若的解（其中为有理数）组数（）无解无穷组解：对于方程中得所以或对于有类似结论。又因若则矛盾。不妨设则中必有一个等于，否则，得出得矛盾。当时，有解当时，有解在时，必有，有解故共有解6组，答案：.3.已知两个实数集合与，若从到的映射使得中的每一个元素都有原象，且，则这样的映射共有（）(A)(B)(C)(D)解：不妨设，将中元素按顺序分为非空的50组，定

2、义映射，使得第组的元素在之下的象都是，易知这样的满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射的个数与按足码顺序分为50组的分法数相等，而的分法数为（排列组合隔板策略），则这样的映射共有，答案：D。4.两个数列，满足，则()(A)(B)(C)(D)解：由于（1）+（2）+1有所以（3）（1）-（2）+7有（4）（3）+（4）有，故，答案：A5.点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点.给出三个命题：①；②的周长有最小值；③曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（）（A）１（B）２　　　（C）３　（D）０解：

3、①设，曲线在点处的切线方程：，故②，的周长当且仅当时取等号；③若曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形，设则。由因为令，则显然有实数根。答案：C6.三角式的值为（）（A），(B)1(C)(D)2解：令则答案：A二、解答题（每小题18，共72分）7.把多项式表示为两个次数不同的实系数多项式的平方差的形式，并在实数范围内分解因式。解：设2分由已知为2次多项式，的次数低于2次，4分故可设8分所以12分所以14分16分取时，有18分8.已知．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）设的辐角为，求的值．解：（Ⅰ）因为，（因为）5分所以．因为，所以．9分（Ⅱ）因为，所以，而，所以，，同理，．14分由（Ⅰ）知，即，所以的实

4、部为，16分而的辐角为时，复数的实部为，所以18分9.△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，证明，证法1：（平面几何法）圆为的外接圆，连接并延长交圆于，连接，则为圆的直径，5分∥，（）∥（）所以四边形为平行四边形，，10分又18分（以下解法比照给分）证法2：（解析法）以边所在的直线为轴，以边上的高所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，设，由，得由，得从而。证法3.（向量法）设因为所以即：，同理，若，则H与O重合，矛盾。所以。即10.将与105互素（互质）的所有正整数从小到大排成数列，求这个数列的第1000项。解：设，，则与105互素且不大于105的自然数的个数为又5分8分与

5、105互素的正整数按从小到大的顺序排成的数列为则令一方面，对于，令因为，故；12分另一方面，对于任意的非负整数及从而必有使得。这表明数列由且仅由形如的数按从小到大的顺序排而成。15分因为数列是递增的，且对每个固定的非整数，当取遍的值时共得48个数，而，18分