清北学长精心打造——卓越联盟自主招生数学模拟试题及参考答案(一)

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1、清北学长精心打造——卓越自主招生数学模拟试题及参考答案(一)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1．已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角依次为A，B，C.则sinB+cosB的取值范围是（）A．(1，1+B．[，1+C．（1，D．[，2.一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是()A1/2B2/5C3/5D4/73．正四棱锥中，侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，侧面等腰三角形的底角为，相邻两侧面所成的二面

2、角为，则、、、的大小关系（）（A）（B）（C）（D）4.已知f(x)＝

3、x＋1

4、＋

5、x＋2

6、＋…＋

7、x＋2007

8、＋

9、x－1

10、＋

11、x－2

12、＋…＋

13、x－2007

14、（x∈R），且f(a2－3a＋2)＝f(a－1)．则a的值有（）.（A）2个（B）3个（C）4个（D）无数个5.平面上满足约束条件的点（x，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两面三刀点的距离为（）A．B．C．D．6.若m、n∈{x

15、x＝a2×102＋a1×10＋a0}，其中ai∈{1，2，3，4，5，6，7}，i＝0，1，2，并且m＋n＝636，则实数对(m，n)表示平面上不

16、同点的个数为（）．（A）60个（B）70个（C）90个（D）120个1234567897．数列定义如下：.若，则正整数的最小值为().A4025B4250C3650D44258.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且第10页共10页“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有()A96B108C112D1209．设an=2n，bn=n，（n=1，2，3，。。。），An、Bn分别为数列{an}、{bn}的前n项和。记cn=anBn+bnAn—anbn，则数列{cn}的前10项和为（）A．210+

17、53B.211+53C.110×（29－1）D.110×（210－1）10如图，以、为顶点作正，再以和的中点为顶点作正，再以和的中点为顶点作正，…，如此继续下去．则下面选项中错误的是()A所作的正三角形的边长构成公比为的等比数列；B每一个正三角形都有一个顶点在直线（）上；C第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点的坐标是；D第个正三角形的不在第个正三角形边上的顶点的横坐标是．二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.（本小题满分14分）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点（）斜率为1的直线交双曲线于、两点，且，．（1）求双曲线方程；（2）设为双曲线右支上动点，为双

18、曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．第10页共10页12.（本小题满分14分）已知函数（I）求（II）已知数列满足,,求数列的通项公式;(Ⅲ)求证:.13.（本小题满分14分）设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.（I）当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;（II）当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围;（III）是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明

19、理由。14.（本小题满分14分）在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c向量（1）求角A的大小；（2）若的面积.第10页共10页15．（本小题满分14分）已知m，n为正整数.（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1,1,2…，n；（Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.第10页共10页参考答案1．C2.B3.A　4.解：由题设知f(x)为偶函数，则考虑在－1≤x≤1时，恒有f(x)＝2×(1＋2＋…＋2007)＝2008×2007．所以当－1≤a2－3a＋2≤1，且－1≤a－1≤1时

20、，恒有f(a2－3a＋2)＝f(a－1)．由于不等式－1≤a2－3a＋2≤1的解集为≤a≤，不等式－1≤a－1≤1的解集为0≤a≤2．因此当≤a≤2时，恒有f(a2－3a＋2)＝f(a－1).故选（D）．5．（B）．6.解：由6＝5＋1＝4＋2＝3＋3及题设知，个位数字的选择有5种.因为3＝2＋1＝7＋6－10，故（1）由3＝2＋1知，首位数字的可能选择有2×5＝10种；（2）由3＝7＋6－10及5＝4＋1＝2＋3知，首位数字的可能选择有2×4＝8种.于是