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时间:2018-07-28
《清北学长精心打造——卓越联盟自主招生数学模拟试题及参考答案(一)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、清北学长精心打造——卓越自主招生数学模拟试题及参考答案(一)一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1.已知△ABC的三边a,b,c成等比数列,a,b,c所对的角依次为A,B,C.则sinB+cosB的取值范围是()A.(1,1+B.[,1+C.(1,D.[,2.一个口袋里有5个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出5个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是()A1/2B2/5C3/5D4/73.正四棱锥中,侧棱与底面所成的角为,侧面与底面所成的角为,侧面等腰三角形的底角为,相邻两侧面所成的二面
2、角为,则、、、的大小关系()(A)(B)(C)(D)4.已知f(x)=
3、x+1
4、+
5、x+2
6、+…+
7、x+2007
8、+
9、x-1
10、+
11、x-2
12、+…+
13、x-2007
14、(x∈R),且f(a2-3a+2)=f(a-1).则a的值有().(A)2个(B)3个(C)4个(D)无数个5.平面上满足约束条件的点(x,y)形成的区域为D,区域D关于直线y=2x对称的区域为E,则区域D和区域E中距离最近的两面三刀点的距离为()A.B.C.D.6.若m、n∈{x
15、x=a2×102+a1×10+a0},其中ai∈{1,2,3,4,5,6,7},i=0,1,2,并且m+n=636,则实数对(m,n)表示平面上不
16、同点的个数为().(A)60个(B)70个(C)90个(D)120个1234567897.数列定义如下:.若,则正整数的最小值为().A4025B4250C3650D44258.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且第10页共10页“3、5、7”号数字涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有()A96B108C112D1209.设an=2n,bn=n,(n=1,2,3,。。。),An、Bn分别为数列{an}、{bn}的前n项和。记cn=anBn+bnAn—anbn,则数列{cn}的前10项和为()A.210+
17、53B.211+53C.110×(29-1)D.110×(210-1)10如图,以、为顶点作正,再以和的中点为顶点作正,再以和的中点为顶点作正,…,如此继续下去.则下面选项中错误的是()A所作的正三角形的边长构成公比为的等比数列;B每一个正三角形都有一个顶点在直线()上;C第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点的坐标是;D第个正三角形的不在第个正三角形边上的顶点的横坐标是.二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.(本小题满分14分)已知双曲线:(,)的离心率为2,过点()斜率为1的直线交双曲线于、两点,且,.(1)求双曲线方程;(2)设为双曲线右支上动点,为双
18、曲线的右焦点,在轴负半轴上是否存在定点使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.第10页共10页12.(本小题满分14分)已知函数(I)求(II)已知数列满足,,求数列的通项公式;(Ⅲ)求证:.13.(本小题满分14分)设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.(I)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(II)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围;(III)是否存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在,求出m的值,若不存在,说明
19、理由。14.(本小题满分14分)在△ABC中,设A、B、C的对边分别为a、b、c向量(1)求角A的大小;(2)若的面积.第10页共10页15.(本小题满分14分)已知m,n为正整数.(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;(Ⅱ)对于n≥6,已知,求证,m=1,1,2…,n;(Ⅲ)求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.第10页共10页参考答案1.C2.B3.A 4.解:由题设知f(x)为偶函数,则考虑在-1≤x≤1时,恒有f(x)=2×(1+2+…+2007)=2008×2007.所以当-1≤a2-3a+2≤1,且-1≤a-1≤1时
20、,恒有f(a2-3a+2)=f(a-1).由于不等式-1≤a2-3a+2≤1的解集为≤a≤,不等式-1≤a-1≤1的解集为0≤a≤2.因此当≤a≤2时,恒有f(a2-3a+2)=f(a-1).故选(D).5.(B).6.解:由6=5+1=4+2=3+3及题设知,个位数字的选择有5种.因为3=2+1=7+6-10,故(1)由3=2+1知,首位数字的可能选择有2×5=10种;(2)由3=7+6-10及5=4+1=2+3知,首位数字的可能选择有2×4=8种.于是
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