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时间:2018-08-06
《清北学长精心打造——华约自主招生数学模拟试题及参考答案(三)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、清北学长精心打造——华约自主招生数学模拟试题及参考答案(三)1.(本小题满分14分)已知双曲线:(,)的离心率为2,过点()斜率为1的直线交双曲线于、两点,且,.(1)求双曲线方程;(2)设为双曲线右支上动点,为双曲线的右焦点,在轴负半轴上是否存在定点使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.2.(本小题满分14分)已知函数(I)求(II)已知数列满足,,求数列的通项公式;(Ⅲ)求证:.3.(本小题满分14分)设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.(I)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范
2、围;(II)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围;(III)是否存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由。第9页共9页4.(本小题满分14分)在△ABC中,设A、B、C的对边分别为a、b、c向量(1)求角A的大小;(2)若的面积.5.(本小题满分14分)已知m,n为正整数.(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;(Ⅱ)对于n≥6,已知,求证,m=1,1,2…,n;(Ⅲ)求出满足等式3n+4m+…+(
3、n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.第9页共9页6.(15分)如图,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N.求证:(1)OB⊥DF,OC⊥DE;(2)OH⊥MN.7.(本题满分15分)将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形.每个正方形的边均平行于矩形的相应边.试求这些正方形边长之和的最小值.第9页共9页答案1.(1)由双曲线离心率为2知,,,双曲线方程化为.又直线方程为.由,得.①设,,则,.因为,所以,.结合,解得,.代入,得,化简得.又且.所以.此时,,代入①,整
4、理得,显然该方程有两个不同的实根.符合要求.故双曲线的方程为.(2)假设点存在,设.由(1)知,双曲线右焦点为.设()为双曲线右支上一点.当时,,,因为第9页共9页,所以.将代入,并整理得,.于是,解得.当时,,而时,,符合.所以符合要求.满足条件的点存在,其坐标为.2.解:()因为所以设S=(1)S=……….(2)(1)+(2)得:=,所以S=3012()由两边同减去1,得所以,所以,是以2为公差以为首项的等差数列,所以因为第9页共9页所以所以>3解:(1)由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x 即记,则f(x)≥h(x)在(1,+∞)
5、上恒成立等价于.求得当时;;当时,故在x=e处取得极小值,也是最小值,即,故.(2)函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a,在[1,3]上恰有两个相异实根。令g(x)=x-2lnx,则当时,,当时,g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在上是单调递增函数。故又g(1)=1,g(3)=3-2ln3∵g(1)>g(3),∴只需g(2)6、∞)。若,则,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意;若,由可得2x2-m>0,解得x>或x<-(舍去)故时,函数的单调递增区间为(,+∞)第9页共9页单调递减区间为(0,)而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞)故只需=,解之得m=即当m=时,函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。4解(1)又(2)为等腰三角形,5解:(Ⅰ)证:当x=0或m=1时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明:当x>-1,且x≠0时,m≥2,(1+x)m>1+mx.(i)当m=2时,左边=1+2x+x7、2,右边=1+2x,因为x≠0,所以x2>0,即左边>右边,不等式①成立;(ii)假设当m=k(k≥2)时,不等式①成立,即(1+x)k>1+kx,则当m=k+1时,因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0.于是在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以1+x得(1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以(1+x)k+1>1+(k+1)x,即当m=k+1时,不等式①也成立.综上所述,所证不等式成立.第9页共9页(Ⅱ)证:当而由(Ⅰ),(Ⅲ)解:假设存在正整数成立,即有()8、+=1. ②又由(Ⅱ)可得()++与②式矛盾,故当n≥6时,不存在满足该等式的正整数n.故只需要讨论n=1,2,3,4,
6、∞)。若,则,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意;若,由可得2x2-m>0,解得x>或x<-(舍去)故时,函数的单调递增区间为(,+∞)第9页共9页单调递减区间为(0,)而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞)故只需=,解之得m=即当m=时,函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。4解(1)又(2)为等腰三角形,5解:(Ⅰ)证:当x=0或m=1时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明:当x>-1,且x≠0时,m≥2,(1+x)m>1+mx.(i)当m=2时,左边=1+2x+x
7、2,右边=1+2x,因为x≠0,所以x2>0,即左边>右边,不等式①成立;(ii)假设当m=k(k≥2)时,不等式①成立,即(1+x)k>1+kx,则当m=k+1时,因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0.于是在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以1+x得(1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以(1+x)k+1>1+(k+1)x,即当m=k+1时,不等式①也成立.综上所述,所证不等式成立.第9页共9页(Ⅱ)证:当而由(Ⅰ),(Ⅲ)解:假设存在正整数成立,即有()
8、+=1. ②又由(Ⅱ)可得()++与②式矛盾,故当n≥6时,不存在满足该等式的正整数n.故只需要讨论n=1,2,3,4,
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