清北学长精心打造——华约自主招生数学模拟试题及参考答案(三)

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1、清北学长精心打造——华约自主招生数学模拟试题及参考答案(三)1.（本小题满分14分）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点（）斜率为1的直线交双曲线于、两点，且，．（1）求双曲线方程；（2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2.（本小题满分14分）已知函数（I）求（II）已知数列满足,,求数列的通项公式;(Ⅲ)求证:.3.（本小题满分14分）设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.（I）当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范

2、围;（II）当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围;（III）是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。第9页共9页4.（本小题满分14分）在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c向量（1）求角A的大小；（2）若的面积.5．（本小题满分14分）已知m，n为正整数.（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1,1,2…，n；（Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(

3、n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.第9页共9页6．（15分）如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：(1)OB⊥DF，OC⊥DE；(2)OH⊥MN．7．（本题满分15分）将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．第9页共9页答案1.（1）由双曲线离心率为2知，，，双曲线方程化为．又直线方程为．由，得．①设，，则，．因为，所以，．结合，解得，．代入，得，化简得．又且．所以．此时，，代入①，整

4、理得，显然该方程有两个不同的实根．符合要求．故双曲线的方程为．（2）假设点存在，设．由（1）知，双曲线右焦点为．设（）为双曲线右支上一点．当时，，，因为第9页共9页，所以．将代入，并整理得，．于是，解得．当时，，而时，，符合．所以符合要求．满足条件的点存在，其坐标为．2.解:()因为所以设S=（1）S=……….(2)(1)+(2)得:=,所以S=3012()由两边同减去1,得所以,所以,是以2为公差以为首项的等差数列,所以因为第9页共9页所以所以>3解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x　即记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)

5、上恒成立等价于.求得当时;;当时，故在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故.（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。令g(x)=x-2lnx,则当时，,当时，g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。故又g(1)=1,g(3)=3-2ln3∵g(1)>g(3),∴只需g(2)

6、∞）。若，则，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;若,由可得2x2-m>0，解得x>或x<-（舍去）故时，函数的单调递增区间为(,+∞)第9页共9页单调递减区间为(0,)而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)故只需=，解之得m=即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。4解（1）又（2）为等腰三角形，5解：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当x>-1，且x≠0时，m≥2,(1+x)m>1+mx.(i)当m=2时，左边＝1+2x+x

7、2,右边＝1+2x，因为x≠0,所以x2>0，即左边>右边，不等式①成立；（ii）假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0.于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当m＝k+1时，不等式①也成立.综上所述，所证不等式成立.第9页共9页(Ⅱ)证：当而由（Ⅰ），（Ⅲ）解：假设存在正整数成立，即有（）

8、+＝1.　　②又由（Ⅱ）可得（）++与②式矛盾，故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n.故只需要讨论n=1,2,3,4,