8.π的计算实验

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1、肌的近似计算实验实验目的在本次试验中，追溯关于圆周率N的计算历程.通过对割圆术、韦达公式、级数加速法、拉马努金公式，迭代法等计算方法的介绍和计算体验，使学生感受数学思想和数学方法的发展过程，提高对极限和级数收敛性及收敛速度的综合认识.同时使学生看到数学家对科学真理的永无止境的追求.实验指导”是使人们最经常使用的数学常数.人们对“的研究已经持续了2500多年.在今天，这种探索还在继续……一、割汉代著名数学家刘徽在《九章算术注》中创造了割圆术（图46"）.刘徽注意到圆内接正多边形的面积囿于圆面积，边数加倍时正多边形的面积随之增加，圆内接正多边形面积逐渐逼近圆的面积，圆内接正多边

2、形的周长也逐渐逼近圆的周长.这充分体现出了朴素的极限思想••利用这种方法,刘徽计算了圆内接正96边形的边长与面积，得到7T-3J4.割圆术从单位圆开始，首先作单位圆的内接正6边形，然后边数加倍，正12边形，正24边形，正48边形，正96边形，….利用勾股定理可以建立边数和面积的递推公式，进而得到m的近似值.设圆内接正刃边形的边长为％,圆内接正边形的面积》・据勾股定理，边长有如下递推公式:（1）面积与边长有如下关系:Sm"肝牛3.2%”面积S与多边形的面积乞之间有如下关系:S*

3、[4-a[n-l]A2]];（*多边形边长*）b[n_]:=6*2An*a[n];（*多边形周长*）s[n_]:=3*2An*a[n];（*多边形面积*）Tablet{625,N[s[n]],a[n]},{n,1,4}]//TableForm计算结果为：多边形边数幷多边形面积5；多边形边长心123.10583/2-VT243.13263J2-J2+483.13935j2J2+』2+r/T963.141032-J2+J2+冷2+VT著名数学家祖冲之（公元429年），计算了内雯正24576边形的边长，得到了X的取值范围为3.1415926<3.1415927.作单位圆的n边内

4、接和外切正多边形，则单位园的面积介于内外多多边形对圆面积的夹挤边形的面积之间.由此也可以建立夹挤方法来近似计算£（图46-2）.德国数学家鲁道夫（1610年）用了几乎半生的时间，使用内外面积夹挤的方法计算出竹的35位小数.为了纪念他，德国人民把77称为鲁道夫数.图46-2a=1;For[i=1,i<=11,i++,a=Sqrt[2-Sqrt[4-aA2]]]32A11a//N二、韦达（VieTa）公式1593年，韦达首次给出了计算Pi的精确表达式：2_逅莎疋丘正〈2+&+运丽兀2222'丿韦达公式看起来有些神秘，其实它的导岀过程所用的都是朴实简洁的数学方法.L从sint开始

5、sinr=2cos—sin—22=4coSicoSisini244=8cos—cos—cos24t.t—sin—88二16cos—cos—cos24cost.t—sin—1616=■••所以.对任意M总有sint-2%in召Rcos丄那么,sin/sinf各t—=IIcos—取"毎得到兀cos—8KCOS一16兀cos一32(5)2・从cos巴开始4itcos—=871(COS—+182ncos一=16归纳可知其中共有n重根号(5)和(6)结合使用，就得到韦达公式:0Qn^os斤=1nn+l=nfidZ_(2+运Q；十』2+近』2+上&{{0,2.8284271247461

6、9(X376(2,3<1214451522580522856{4,3A403311569547529123{6,3.1415138^443010763{£3,1415877252771597006,3.1415923455701177423f3,1415926343385629891『3.1415926523865913458r3.1415926535145931202,3.14159265358509323Uz3.14159265358949948801012.14161820flfln{ftrjlz0.3131655288436031409,0.020147501331

7、7409529},，0.0012614966350403261},.0.0000788524454921621,4.9283126335378x：0^6}r,3.08019C754961xlO"7),,1.92512302494xlO^8},『1.2032018927xW9},,7.52001183x10-11)zr4,7000074xlCT12},r2.937505xlO-13}}+V22222N使用Vieta公式计算it的近似值Vieta{n_.]Module[(u),u«H[FzpductfCoe(If1)J