15-16版：131-二项式定理(创新设计)

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1、1・3二项式定理1-3.1二项式定理［学习目标］1.能用计数原理证明二项式定理2常握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.戸预习导学/挑战白我，点点落实［知识链接］1.二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？答二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念.二项式系数是指C*…，C；；,它只与各项的项数有关，而与Gb的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与Gb的值有关.2.二项式(a+h)n与(b+a)"展开式中第£+1

2、项是否相同？答不同.(a+b)n展开式屮第k+1项为C%"V,而(b+d)"展开式中第k+1项为C紗％［预习导引］1.二项式定理公式(a+b)"=C^"+C制一仏+…+C紂宀於+…+C餌S三N)叫做二项式定理.2.二项式系数及通项(1)@+历〃展开式共有吐L项，其屮各项的系数©；伙丘｛0,1,2,…，加)叫做一•项式系数.(2)@+b)"展开式的第吐L项叫做二项展开式的通项，记作T十C紂-咁.戸课堂讲义全重点难点，个个击破要点一二项式定理的正用、逆用例1⑴求(3心+吉)4的展开式;(2)化简(x-1)5

3、+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).解(1)方法一=812+108兀+54+乎+卡.方法二g心=尿：(3兀r+ci(3x)3+C4(3x)2+ci-3x+l]Jv=4(81J+108x3+54x2+12x+1)X=81x2+108x+54+—+~r.XX(2)原式=C§(兀—if+C；(兀一1)4+C5(x—1)3+Cs(x—1)2+C5(x—1)+C；—1=[(x—1)+1]5—1=x5-l.⑴展开(2规律方法运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的

4、二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别.逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幕指数的规律以及各项的系数.跟踪演练1(2)化简5=1-2Ci+4C；-8C^+•••+(-2)WC；；(/?eN').解(1)(2&+±『=+(2卄1)6=如宓『+Ci(Zr)5+C

5、(2x)4+Cl(2x)3+CW+d(2x)+&]=64x3+192x2+240x+160+~+~^+p.(2)将S的表达式改写为S=U+(—2)U+(—2

6、)2(^+(—2)叱汁・・・+(—2)"C；；=[l+(—2)]"=(—1)".[1,"为偶数时,•■•s=(_1)"=l-l,"为奇数时.要点二二项展开式通项的应用例2若(心+丄)〃展开式屮前三项系数成等差数列，求：2孤(1)展开式中含兀的一次项；(2)展开式中所有的有理项.解(1)由已知可得d+C：•壬=2C：迈，即/广一9n+8=0,解得n=8,或n=1(舍去).7i+1='•()"=C%2x*,令4—二£=1,得R=4.所以兀的一次项为T5=C?24x2眾358Xa351(2)令4-^eZ,且0W

7、PW8,则£=0,4,8,所以含兀的有理项分别为7}=x4,7^=yx,心=页孑规律方法利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型.常见的有求二项展开式中的第R项、常数项、含某字母的广次方的项等等.其通常解法就是根据通项公式确定7}.+

8、中k的值或取值范围以满足题设的条件.跟踪演练2已知在饭〃的展开式中,第6项为常数项.⑴求含/的项的系数;(2)求展开式屮所有的有理项.解n-r〃展开式的通项为7；+严C；兀〒•(一3厂厂n-2r二C；；(—3)h丁•第6项为常数项,即

9、厂=5,且=0,/•n=.zn~2re1(1)令—=2,r=2(n—6)=2.故X项的系数为Cf()(—3)2=405.fl0-2r~3-%(2)根据通项公式，由题意得＜ow^wlO,、胆N.z10-2r小令——=^ez),贝Q10—2厂=3仏r=5-VreN,・・・k应为偶数.又TOWWIO,・・上可取2,0,-2,即尸=2,5,8.・••第3项,第6项和第9项为有理项，它们分别是Cfo(-3)V,C?o(-3)5,C?0(-3)V2.要点三二项式定理的应用例3⑴用二项式定理证明：34w+2+52n

10、+,能被14整除；(2)求9件除以100的余数.⑴证明34n+2+52n+l=92,,+1+52n+l=[(9+5)-5]2w+1+52,,+1=(14-5)2w+1+52h+i=142m+1-CL+1X14加X5+&1X142rt_,X52+C芻+】X14X5鮎一C鉛1X5亦+'+52/,+1上式是14的倍数，能被14整除，所以34,,+2+52^!能被14整除.=14(142n-cUiX142n14X+227C+5X5IX