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1、动态几何问题第一部分真题精讲【例1】如图，在梯形ABCD中，AD//BCfAD=3,DC=5,BC=10,梯形的高为4.动点M从〃点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为/（秒・（1）当MN//AB时，求/的值；（2）试探究：r为何值时，/XMNC为等腰三和形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间
2、，就本题而言，M,N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解（1）rh题意知，当M、N运动到Z秒时，如图①，过D作DE//AB交BC于E点、,则四边形ABED是平行四边形.•・・AB//DE,AB//MN.ADE//MN.（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）.（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）・・
3、・巴二竺二上.解得r=—.ECCD10-3517【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN二NC即可，于是就漏掉TMN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论：①当MN=NC时，如图②作NF丄交BC于F,则HMC=2FC即.（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）TsinZC=电，cosZC=—,・*.10—2z=2x—,解得『=二.CD5558M②当如MC时，如图③,过M作的丄
4、CD于H.则CN=2CH,,,2（】0-2尼.譽③当MC=CN时，则10-2/=/.t=—.综上所述，当t=—.岀或上时，HMNC为等腰三角形.'38173【例2】在△八BC中，ZACB二45°.点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.（1）如果AB=AC・如图①，H点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论.（2）如果ABHAC,如图②，且点D在线段BC上运动.（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设氐=4近,BC=3,CD=x,求线段CP
5、的长.（川含尢的式子表示）图⑴BFC【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。【解析】：（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；证明如下：TAB二AC,ZACB=45°,ZABC=45°.
6、+
7、止方形ADEF得AD二AF,VZDAF=ZBAC二90°,.ZDAB=ZFAC,AADABAFAC,AZACF=ZABD..・.ZBCF二ZACB+ZACF二90°.即CF丄BD.【思路分
8、析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行,于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。（2）CF丄BD.（1）中结论成立.aA理由是：过点A作AG丄AC交BC丁点G,・・・AOAG可证：AGAD仝ACAF.・.ZAC2ZAGD二45°//ZBCF二ZACB+ZACF二90°.即CF丄BD孑厂"],CBCjDp【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是朵一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-Xo分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP・（3）过点
9、A作AQ丄BC交CB的延长线于点Q,①点D在线段BC上运动时，VZBCA=45°,可求出AQ二CQ二4.ADQ二4-x,易证△AQD^ADCP,:.cp-CD,.CPx.〜戏DQAQ4-x44②点D在线段BC延长线上运动时，VZBCA=45°,可求出AQ二CQ二4,ADQ=4+x.过A作AG1AC交CB延长线于点G,则AAGD=MCF.CF丄BD,AAQD<-ADCP,・••竺=££,=cP=—+x-DQAQ4+x44【例3】己知如
