浅谈线性代数中的哲学思想

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1、从本学科出发，应着重选对国民经济具有一定实用价值和理论意义的课题。课题具有先进性，便于研究生提出新见解，特别是博士生必须有创新性的成果浅谈线性代数中的哲学思想　　线性代数作为工科数学的一门主要基础课，不仅是后续课程和专业学习的需要，更是培养学生数学素质，提高创新能力的需要。为了提高教学效果，不仅要注重知识层面上的学识教育，更要注重文化层面上的素质教育，要善于把数学课程放在更广阔的文化背景中进行教学，这样才能充分调动学生学习的主动性和积极性。下面结合自己的教学实践，尝试从哲学的角度来探讨一下线性代数的教学，以期对大家有所帮助。　　一、从“形

2、变质不变”看事物之变化　　在线性代数中，所研究的事物常常会发生各种形式上的改变，但本质属性未改变，所谓“万变不离其宗”，在此不妨称之为“形变质不变”。例如，行列式的恒等变换；方程组的同解变换；矩阵的初等变换；向量组的等价变换；二次型的标准变换等。这么多的变换，很容易引起学生混淆，特别是对变化的目的与方向一筹莫展，从而失去学习的兴趣和信心，因此在教学中需要注意以下几个方面。课题份量和难易程度要恰当，博士生能在二年内作出结果，硕士生能在一年内作出结果，特别是对实验条件等要有恰当的估计。从本学科出发，应着重选对国民经济具有一定实用价值和理论意义

3、的课题。课题具有先进性，便于研究生提出新见解，特别是博士生必须有创新性的成果　　1.要充分揭示变与不变的真正内涵。引导学生认识事物，不但要观其表象，更要明其内里，真正明白形式改变背后隐藏的真谛。例如，行列式进行恒等变形，其值不变；矩阵进行初等变换，其秩不变；向量组进行初等变换，其秩以及线性表示关系不变；二次型进行各种标准变换，但其正定性、负定性等保持不变。以上种种“变与不变”，相辅相成，是“形变质不变”，是形式和内容的和谐统一。　　2.要积极引导学生为解决问题，在形式上寻求最佳改变方案。教学中经常用到化归的思想[1]，要化繁为简，化难为易

4、，化未知为已知。由于形式是为内容服务的，所以以“不变”为根基，为纽带；以“变”为契机，为突破；才能寻找到解决问题的最佳途径。例如为求行列式的值，常将行列式化成三角形行列式；为求矩阵的秩，常把矩阵化成行阶梯形；为求线性方程组的解和向量组的线性表示关系，常将对应矩阵化成行最简形；为判断二次型的正定性，常将二次型化成标准型等。　　3.要反复强调矩阵初等变换联盟的核心地位。在“形变质不变”中，矩阵的初等变换堪称经典。因为矩阵的形变不仅能解决自身问题，如求矩阵的秩、矩阵的逆、矩阵方程的解以及矩阵的特征值与特征向量等，而且还能解决线性代数中的其他问题

5、。例如求向量组的秩及线性表示、线性方程组的通解、二次型的标准型等。可以说矩阵的初等变换如同一条多变的链条，充满了多样性和奇异性，将线性代数的整个内容都贯穿了起来，是解决线性代数问题的关键方法。　　二、从“量变引质变”看事物之差异课题份量和难易程度要恰当，博士生能在二年内作出结果，硕士生能在一年内作出结果，特别是对实验条件等要有恰当的估计。从本学科出发，应着重选对国民经济具有一定实用价值和理论意义的课题。课题具有先进性，便于研究生提出新见解，特别是博士生必须有创新性的成果　　辩证唯物主义认为，事物具有质和量两个方面，是质和量的统一体。而数学

6、研究就是从量的关系方面去把握事物的质及其变化规律，特别是质的差异和从量变到质变的飞跃过程[3]。在线性代数中，许多研究对象都有与其密切相关的量，当这些量发生改变时，就能引起相应的质的改变，特别是当其改变到某种程度，即当量变达到某一值时，就会引起质的本质改变，会产生质的飞跃，可称之为“量变引质变”。　　例如，n阶矩阵A有对应的量R和A，当R　　以上种种，都说明量变引起了质变。因此，在教学中，不仅要引导学生去发现能反映事物质的量，而且还要帮助学生理解这个量为何影响质，并且对这个量变引起質变的临界值，要重点掌握。在实际应用时，常常会遇到量变取决

7、于某些未知参数，因此就需要根据临界值，先对未知参数进行讨论，然后再具体判别事物的质，使得问题得以顺利展开和讨论。　　三、从“对立统一”看事物之联系　　由于线性代数中的概念、性质以及定理较多，许多内容相似且有关联，所以学生特别容易混淆。而且学习时靠死记硬背，应用时张冠李戴，总犯一些不该犯的错误。为了使学生熟练掌握这些内容，明晰其区别与联系，我们不妨把事物一分为二，从“对立统一”的角度看问题、分析问题，那么线性代数的教学内容就变得有章可循，有法可依，就能由此及彼，由浅入深，逐步展开成线性代数枝繁叶茂的知识体系。例如，从以下几个方面。课题份量和

8、难易程度要恰当，博士生能在二年内作出结果，硕士生能在一年内作出结果，特别是对实验条件等要有恰当的估计。从本学科出发，应着重选对国民经济具有一定实用价值和理论意义的课题。课题具有先进性，便于研究