大学数学中美学的研究与应用

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1、从本学科出发，应着重选对国民经济具有一定实用价值和理论意义的课题。课题具有先进性，便于研究生提出新见解，特别是博士生必须有创新性的成果大学数学中美学的研究与应用　　1.引言课题份量和难易程度要恰当，博士生能在二年内作出结果，硕士生能在一年内作出结果，特别是对实验条件等要有恰当的估计。从本学科出发，应着重选对国民经济具有一定实用价值和理论意义的课题。课题具有先进性，便于研究生提出新见解，特别是博士生必须有创新性的成果　　自然科学及人文科学中的美，也都能在数学中体现出来，并且显示出它独有的特点。数学家克莱因认为:“数学是人类最高超的智力成就，也就是

2、人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目。诗歌能动人的心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”具体地说,数学美的特征主要有统一美、对称美、简洁美、奇异美。大学数学的基础课程一般是指微积分、线性代数、概率论与数理统计。虽然数学美是客观存在的，但要在具体的数学课程，尤其是大学数学课程中体现出来，与教学相结合，却并非容易的事情。这主要是因为两个原因：1.大学数学是高度抽象、具有严密逻辑性的科学，要体现具体的美学思想不容易切入；2.大学数学的教学时间安排一般都十分紧凑，如果从教学内容中引入美学思想，就有

3、可能导致教学进度受影响，因此往往难以深入。正因为这些原因，要求教师在处理教材时，从内容本身出发，找出其中蕴含的美学思想，吸引学生进一步学习的浓厚兴趣。已有一些文献做了这方面的工作。如钱双平提出了对称美在微分学和积分学教学中的运用［１］；我在文献中从费马原理出发，讨论了对称美在运筹学中的应用，提出了一些巧妙的算法；刘学鹏论及了非齐次线性方程组解的优美的逆向问题［３］。这些都是数学美在大学数学中的具体体现。　　本文从以下几个方面讨论了数学美，为数学美学的研究提供了很好的素材。　　2.从差分方程看数学的形与数的统一美　　高等数学里有差分方程这一章节。

4、教材里一般是给出一个差分方程，就有一个相应的解析解。但事实上有一类差分方程，即混沌方程，是没有解析解的，即使给出数值解也是不可能的。它是无限不循环的，却有着确定的概率分布，在图形的点集上可清楚地显示出来，因此是形与数的美妙统一。　　概率统计教程中，教师总是难以找到较好的随机数据来进行统计检验。其实我们可利用这个差分方程来作为良好的伪随机数生成器。方法是：将x的值按顺序置于［0，1］的线段上，并分成2n个子区间，区间循环取0、1，便得到随机性能良好的伪随机序列。这个方法已由我在文［４］中得到论述。现在我们便可用它来验证概率论与数理统计中的大数定律

5、，对于二项分布，只须检验DeMoivre-Laplace定理。这是确定性与不确定性、偶然与必然的统一美。　　DeMoivre-Laplace定理：设随机变量?耷为具有参数n，p的二项分布，则对于任意区间［a，b）恒有：　　p{a≤＜b}=?蘩edt　　验证步骤：课题份量和难易程度要恰当，博士生能在二年内作出结果，硕士生能在一年内作出结果，特别是对实验条件等要有恰当的估计。从本学科出发，应着重选对国民经济具有一定实用价值和理论意义的课题。课题具有先进性，便于研究生提出新见解，特别是博士生必须有创新性的成果　　步骤1：取一段用x=1-2x生成的长度

6、为N的“0－1”伪随机数{x}。取{x}的长度为n的不同子集A，n＜N；　　步骤2：对不同的A，计算频数?耷，即A中1的个数。取任意区间［a，b），计算落入［a，b）频率，记为F；　　步骤3：查表计算?蘩edt，比较它与F的误差；　　步骤4：对不同的［a，b），重复上述步骤。　　3.矩阵与幻方的形数统一美、奇异美　　线性代数教程里提到应用的实例较少，是因为专业知识所限。课本里涉及到的矩阵，大多有很好的对称性与规律性，解答结果也有一种简洁美。利用这些知识可以解决一些问题，如幻方。这就是数与形的统一美。　　这个增广矩阵是一个很有规律的矩阵，可笔算或

7、利用Matlab软件就可以方便地计算出来。同理也可以算得四阶幻方。　　4.结语　　大学数学里的许多章节知识里都蕴含着数学美，但这些美不仅需要教师去挖掘，而且要能举出实际例子使之具体体现出来。本文所论述的数学美主要是形与数的统一美、确定性与不确定性的统一美，它对数学的美学教学能起到良好的辅助作用。课题份量和难易程度要恰当，博士生能在二年内作出结果，硕士生能在一年内作出结果，特别是对实验条件等要有恰当的估计。