体会定积分在物理上的应用

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1、体会定积分在物理上的应用　　通过定积分这一章的学习，我们越来越对积分思想的渊源感兴趣，怎么会想到用无限小的过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长呢？　　其实求面积和体积问题自古以来都是数学家们感兴趣的课题.首先，积分学的起源最早可以追溯到古希腊伟大的数学家、力学家阿基米德，他使用了平衡法推导球体积，但没有使用极限的方法，而是创造了微元法分析问题.我国魏晋时候杰出的数学家刘徽提出“割圆术”，用思想无限分割方法推导出许多平面图形的面积与一些立体图形的体积.文艺复兴时期，天文学的发展激发了积分学的研究兴趣，法国数学家费马首次以和式极限讨论了曲线下面积的方法.只有牛顿和莱布尼茨把这个问题上升到一般概念，

2、认为这是一种不依赖于任何几何或物理背景的结构性运算，给予命名――微积分.　　定积分的分析思想和解决实际问题是非常重要的，北师大高中选修2-2要求解决一些简单的几何问题，主要在这个过程中熟悉定积分的求法，感受微积分的魅力，但对于定积分解决物理问题涉及简单的做功问题和物理运动问题，由此有必要多了解定积分在物理上的其他重要应用，拓宽视野.　　为了更好地分析问题，这里简单理解定积分的分析方法――微元法.　　①根据问题的具体情况，选取一个变量例如为积分变量，并确定它的变化区间[a，b]；5　　②设想把区间[a，b]分成个小区间，取其中任一小区间并记为[x，x+dx]，求出相应于这小区间的部分量VU的近似

3、值.如果VU能近似地表示为[a，b]上的一个连续函数在x处的值f（x）与dx的乘积，则把f（x）dx称为量的元素且记作dU，即dU=f（x）dx；　　③以所求量U的元素f（x）dx为被积表达式，在区间[a，b]上作定积分，得U=？蘩f（x）dx，即为所求量U的积分表达式.这个方法通常叫做元素法.　　一、变力沿直线所做的功　　例1：半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为1，现将这球从水中取出，需做多少功？　　解：建立如图所示的坐标系：　　将高为r的球缺取出水面，所需的力F（x）为：F（x）=G-F.　　其中：G=?1?g是球的重力，F表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受

4、的浮力.　　由球缺公式V=π?x（r-）有F=[π?r?r-π?x（r-）]?1?g　　从而F（x）=π?x（r-）g（x∈[0，2r]）　　十分明显，F（x）表示取出水面的球缺的重力.即：仅有重力做功，而浮力并未做功，且这是一个变力.从水中将球取出所做的功等于变力F（x）从0改变至2r时所做的功.　　取x为积分变量，则x∈[0，2r]，对于[0，2r]上的任一小区间[x，x+dx]，变力F（x）从0到x+dx这段距离内所做的功.　　dW=F（x）dx=π?x（r-）g5　　这就是功元素，并且功为　　W=？蘩πgx（r-）dx=g[x-x]=π?rg　　另解：建立如图所示的坐标系：　　取为积分

5、变量，则x∈[0，2r]，　　在[0，2r]上任取一个小区间[x，x+dx]，则此小区间对应于球体上的一块小薄片，此薄片的体积为π（）dx.　　由于球的比重为1，故此薄片质量约为：　　dm=π[r-（r-x）]dx?1　　将此薄片取出水面所做的功应等于克服薄片重力所做的功，而将此薄片取出水面需移动距离为x.　　故功元素为dW=dm?g?x=πg[r-（r-x）]xdx　　W=？蘩πg[r-（r-x）]xdx=πg∫（2rx-x）dx　　=πg[rx-x]=πrg　　二、水压力　　在水深为处的压强为p=γ?h，这里γ是水的比重.　　如果有一面积为A的平板水平地放置在水深h处，那么，平板一侧所受的

6、水压力为：　　P=p?A=γ?h?A　　若平板非水平地放置在水中，那么由于水深不同之处的压强不相等.此时，平板一侧所受的水压力就必须使用定积分计算.　　例2：边长为a和b的矩形薄板，与水面成α角斜沉于水中，长边平行于水面而位于水深h处.设a>b，水的比重为γ5，试求薄板所受的水压力P.　　解：由于薄板与水面成α角斜放置于水中，则它位于水中最深的位置是h+bsinα　　取x为积分变量，则x∈[h，h+b?sinα]（注意：x表示水深）　　在[h，h+b?sinα]中任取一小区间[x，x+dx]，与此小区间相对应的薄板上一个小窄条形的面积是a?　　它所承受的水压力约为γ?x?a　　于是，压力元素为

7、dP=dx　　P=？蘩xdx　　=[（h+bsinα）-h]　　=（2bhsinα+bsinα）　　=abhγ+ab（bsinα）γ　　这一结果的实际意义十分明显.　　abhα正好是薄板水平放置在深度为h的水中时所受到的压力；　　而ab（bsinα）γ是将薄板斜放置所产生的压力，它相当于将薄板水平放置在深度为bsinα处所受的水压力.　　三、引力　　由物理学知道：质量为m、m，相距为r的两质点间的