从竞赛到高考 从染色到传球

《从竞赛到高考 从染色到传球》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、维普资讯http://www.cqvip.com18中等数学●我为教学竞赛命题●从竞赛到高考从染色到传球罗增儒(陕西师范大学数学系，710062)120+24O+60=420(种)．1为1995年高中联赛供题命题组对题目的叙述与解法都作了修1995年全国高中数学联赛命题组选用改．了笔者提供的两道题，即填空题第5小题(四1．2试题棱锥染色)和二试第一题(平面几何)．没有想例1将一个四棱锥的每个顶点染上一到的是，四棱锥染色类题目已从竞赛到高考，种颜色，并使同一条棱的两端点异色．如果只从特殊到一般，从染色到传球，频繁地出现在有5种颜色可供使用，那么，不同的染色方法中学数学刊物和各类模拟题中．的总数是

2、——．1．1供题(1995，全国高中数学联赛)供题的想法很简单，主要是考查分类计修改的解法更体现乘法原理．数(／Jt~法原理、乘法原理)，并有意呈现“染色”解：由题设，四棱锥S—ABCD的顶点s、题型．A、曰所染颜色互不相同，共有5X4X3=60题目任意四棱锥S—ABCD上有5个种染色方法．顶点和8条边(4条侧棱，4条底边)．现将每当s、A、曰已染好时，不妨设其颜色分一顶点都染上一种颜色，使同一条边上的两别为1、2、3．若c染颜色2，则可染颜色3、端点异色．如果共有5种颜色可供使用，那4、5之一，有3种染法；若c染颜色4，则D么，共有种不同的染色方法．——可染颜色3或5，有2种染法；若c染颜色

3、5，提供的解法是对颜色进行分类．则D可染颜色3或4，也有2种染法．可见，解：如图1，由于同一当S、A、B已染好时，C、还有7种染法．条边上的两端点异色，故从而，总染色方法数为60x7=420．允许同色的点只有A、c这两种处理都体现了题型的特殊性，当C或B、D．将四棱锥推广到n棱锥时，其局限性立即就(1)用5种颜色时暴露出来．、C，曰、D均异色)，有图1=120种．2从特殊到一般(2)用4种颜色时(A、c或8、D之一同竞赛之后，推广工作很快就开始了，文色)，有2q=240种．[1]中记录了推广的成果．(3)用3种颜色时(A、c，曰、D均同色)，例2将一个n(n≥3)棱锥的每个顶点有《=60种．染

4、上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色．此外，再无其他情况，共有如果共有r／i(m≥4)种颜色可供使用，那么，收稿日期：2006—10—11不同的染色方法的总数为维普资讯http://www.cqvip.com2007年第7期19口=m(m一2)[(m一2)一+(一1)]．染法，而A有异于A。的m一1种染法，得显然，n棱锥的顶点有m种染法，问题(m一1)b一2．的实质步骤在底面n边形的染色．于是，有两种情况合计，得递推式下面的冽3．6=(m一2)b一l+(m一1)b一2，①例3将一个(≥3)边形的每个顶点b，=m(m一1)(m一2)，染上一种颜色，并使同一条边上的两端点异64=m(m一1)(一3

5、m+3)．色．如果共有m(m≥3)种颜色可供使用，那第二个递推方程为么，不同的染色方法的总数为6+b一l=m(m一1)．b=(m一1)[(m一1)一+(一1)]．当n=3时，b3=m(m一1)(m一2)．2．1例3的两个递推方程当jr／,>3时，A。有m种染法，A要与A，第一个递推方程为异色，有m一1种染法，继而A3，A，⋯，A一。b=(m一2)b一l+(m一1)b一2．都有m一1种染法．最后考虑A，如果只要当／'／=3时，如图2(a)，A有m种染法，求与A异色，也有m一1种染法，总计为A有m一1种染法，A3有m一2种染法．于m(m一1)种．是，但在这个计算中可以分为两类：b=m(m一1)(m

6、一2)．(1)A与A。不同色，这符合要求，有b种；"14A(2)A与A。同色，这不符合要求，但可A-2A1将A与A。合并成一点，得出这类染色有bn-

7、种．于是，b+b=m(m一1)，②当n=4时，如图Z(b)，联结A。A，，将四b，=m(m一1)(m一2)．边形A，AA，A分成两个三角形．若A，与这两个递推方程表现形式虽然不同，但A3异色，则△A。AA3有b3种染法，而A有却可以互相转化．由式①有m一2种染法；若A。与A3同色，则A。与A3b+b一l=(m一1)(b一l+b一2)．有m种染法，A与A均有m一1种染法．于这表明，C=b+6是公比为g=m一是，1的等比数列，递推可得式②．b4=b3

8、(m～2)+m(m一1)反之，由式②有=m(m一1)[(m一2)+(m一1)]b+b一l=m(m一1)，=，n(m一1)(m一3m+3)．且(m一1)(b一1+b一2)=m(m一1)一．当n≥5时，如图2(e)，联结。A一。，将相减可得式①．n边形分成一个n一1边形与一个三角形．若2．2递推方程的求解A。与A一。异色，则n一1边形A。A⋯A两个递推方程可以有10余种求解方法，有b种染法，而A有m一