正,余弦定理的向量证明

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1、课题正、余弦定理总课时数课型新授课编定人：管玉秀执教时间教学目标知识目标掌握正，余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。能力目标利用向量的数量积推出正余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用正，余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感目标培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。重点正，余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教学方法探究学习，学案导学教学手段彩笔，三角板

2、教学过程师生活动学情分析：定理以学生探究为主，注重启发诱导，上课要积极鼓励学生，提高学生学习兴趣。要充分积累方法，注重解的情况分析，总结规律，逐步提高。教会学生思考问题的方法，规范化训练要求严格化，分层要求作业，引导好学生积极参与，循序渐进的提高。通过题目及时探究结论与要求，教会学生运算技能，精彩一练以后强化，难度不大。一、新知探究（一）利用向量如何在三角形的边长与三角函数建立联系？在锐角ABC中，过A作单位向量j垂直于，则有j与的夹角为,j与的夹角为,等式,,同理，过C作单位向量j垂直于，可得在钝角ABC中，过A作单位向量j垂直于，则有j与的夹角为，j与的夹角

3、为.等式,同样可证得正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即[理解定理]积极调动学生探究的兴趣。引导学生从向量方面入手，讨论交流，进一步体会利用向量解决问题的方便。5（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；（2）等价于，，（二）联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。如图1．1-5，设，，，那么，则ACB(图1．1-5)从而同理可证,.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于

4、其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即,,.思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：,,[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的

5、特例。二、典例分析引导学生归纳探究，培养学生自学能力。讨论，交流，加深学生对新学的余弦定理的理解。5例1．在中，，，，求，。分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边，求另两边和一角的问题解：例2．在ABC中，已知，，，求⑴b,⑵A.⑴解：∵=cos==∴注：求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜，即＜＜∴评述：解法二应注意确定A的取值范围。练习:第8页第1（1）、2（1）题。例3．在中，，，是方程的两个根，且，求：①角的度数；②的长度；③．三、归纳总结1）正，余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是

6、余弦定理的特例；（2）正，余弦定理的应用范围：四、作业设计①课后阅读：课本第9页[探究与发现]②课时作业：通过典型例题，培养学生解决问题的能力思考：有几种方法？培养学生自学能力。巩固提高。5（1）在△ABC中，若_（2）在△ABC中，若，求证：。五、精彩一练1、在中，已知，，，则__________，______________．2、在中，如果，，，那么___________，的面积是____________．3、在中，，，则____．4、在ABC中，若，求角A。5、用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；DCBA当为钝角时，．6、如图，在四边形中，已知,，,,，求

7、的长．7、在中，已知，求的最大内角；8、已知的两边是方程的两个根，三角形的面积是，周长是，试求及的值；六、板书设计课题正，余弦定理推导例1例3正，余弦定理例2练习练习巩固5七、预习提纲参照学案预习题纲5