例5.已知,如图,⊙O是RtABC内切圆,∠C=90°

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1、例5.已知，如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°   （1）若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；   （2）若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r。   证明：在Rt△ABC中，AB＝15   作OD⊥AC，OF⊥BC，OE⊥AB   ∵∠C＝90°   ∴四边形DCFO为矩形   ∵AC、CB切⊙O于D、F   ∴DC＝CF   ∴四边形DCFO为正方形   设半径为r   ∴DC＝CF＝r   ∴AD＝12－r，FB＝9－r      6＝2r   ∴r＝3   （2）      或     例6.已知，如图，△ABC的三边BC＝a，CA＝b，AB＝

2、c，它的内切圆O的半径长为r，求：△ABC的面积S。   解：连OE、OF、OD   ∵内切圆   ∴OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC     例7.已知，如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC＝105°，∠ACB＝90°，AB＝20cm，求：BC、AC。   证明：∵AC、BC切⊙O   ∴∠ACO＝∠BCO，∠1＝∠2   ∵∠ACB＝90°   ∴∠ACO＝∠BCO＝45°   ∵∠BOC＝105°   ∴∠2＝30°   ∴∠ABC＝60°   ∵AB＝20cm，∴BC＝10cm     例8.已知，如图，⊙O内切于等腰梯形ABCD，切点分别是E、H、F、G，AB//DC，AD

3、＝BC   （1）求证：线段EF是⊙O的直径；   （2）求证：∠AOD＝90°；   （3）若AB＝2a，DC＝2b，求此梯形的面积S。   证明：（1）法一：连EO并延长交DC于F'   ∵DC、AB切⊙O于F、E   ∴OF⊥DC，OE⊥AB   ∵DC//AB，∴DC⊥OF'   ∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直   ∴F与F'重合   ∴EF是⊙O的直径   法二：共线，连FO，EO   ∠GOF+∠GDF＝180°   ∠GOE+∠DAE＝180°   ∵∠CDA+∠DAE＝180°   ∴∠GOF+∠GOE＝180°   ∴FOE共线   （2）∵DC//A

4、B   ∴∠CDA+∠DAB＝180°   ∵OD、AO平分∠CDA、∠DAE   ∴∠1+∠2＝90°   ∴∠DOA＝90°   （3）作CC'⊥AB              例9.如图，从⊙O外一点A向⊙O引切线AC，从OA上一点B作⊙O的切线BE，切点为E，且BE＝AB，求证：AC2＝2AO·AB   证明：连接OE   则OE⊥BE，又OE＝OC   在Rt△AOC中，AC2＝OA2－OC2   ∴AC2＝OA2－OE2（1）   又在Rt△BOE中   ∵OE2＝OB2－BE2（2）   （2）式代入（1）式得：AC2＝OA2－OB2+BE2   由已知BE＝AB   

5、∴AC2＝OA2－OB2+AB2         ＝（OA-OB）（OA+OB）+AB2         ＝（OA+OB）AB+AB2         ＝AB（OA+OB+AB）         ＝AB（OA+OA）         ＝2OA·AB   ∴AC2＝2AO·AB