直线法确定内含报酬率的理论分析和实际应用

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1、http://www.paper.edu.cn直线法确定内含报酬率的理论分析和实际应用吕政涛山东省莱芜市林业局，山东莱芜271100E-mail：sdlwlzt@sina.com摘摘摘要要要：要：：：本文在验误法的基础上，从微积分的角度，详细阐述了确定内含报酬率的直线法，该方法根据方程系数确定方法的不同而分为直线插值法和直线微分法，直线微分法是直线插值法的一个特例。利用泰勒公式对直线法进行了误差分析，直线法确定内含报酬率误差是由计算点折现率偏差的乘积所决定的，存在“内插法偏大，外插法和微分法偏小”的现象。结合实例介绍了直线法

2、的应用方法，在具体应用时应尽量减小变号区间的长度，大幅度地减小净现值的乘积，可以显著地减小内含报酬率的计算精度。如果再利用误差公式进行校正可以获得更高精度内含报酬率的近似值。关键词：：：内含报酬率：，数值计算，直线方法，误差分析中图分类号：F234.31引言净现值是指投资项目在整个有效期内按一定折现率计算各年度净现金流量现值的代数［1、2］和，其计算公式如下：n-tN=∑NCF1(+i)（1）tt=0式中：N为净现值，NCF为第t年的净现金流量，i为折现率，n为有效期年数。t［1、2］内含报酬率是使投资项目净现值等于0的折现

3、率，是指项目投资实际可望能达到的报酬率，是考查项目投资效果的主要动态评价指标。其计算公式如下：n-t∑NCF1(+I)=0（2）tt=0式中：I为内含报酬率。内含报酬率是多项式函数式（1）的根，即一元n次方程式（2）的解。在会计实务中由于有效期较长（一般n>2），不用或者不能用代数方法来解方程，而是用数值方法通过逐［1］步试算的验误法来确定方程的解。用验误法可以获得高精度的内含报酬率，但需要大量地试算，计算量非常大。如果要减少计算量就要减少试算的次数，要减少试算的次数就要对变号区间（即净现值由正数变负数所对应的折现率区间）内

4、净现值等于零的那点位置进行猜测，这种猜测最简单的办法就是用直线关系代替曲线关系进行估计，可以在一定误差范围内获得较高精度的内含报酬率。-1-http://www.paper.edu.cn2理论分析2.1直线法的计算方法根据微积分的数学原理，我们知道在自变量很小的变动范围内可以用直线代替曲线作近似逼近，因此在折现率很小的变动范围内，净现值与折现率之间复杂的曲线关系可以用简单的直线关系来表示，方程如下：N=a-bi（3）式中：a、b为待定系数。按照内含报酬率定义式（3）可以写成如下形式：N=b(I-i)（4）式中：I-i为折现率

5、偏差。在内含报酬率附近的一定范围内假定净现值与折现率之间存在直线关系，并以此为基础来确定内含报酬率的方法，称为计算内含报酬率的直线法。该方法由于方程系数确定方法的不同而分为直线插值法和直线微分法。2.1.1直线插值法（1）计算公式如果折现率取i和i，其对应净现值分别为N和N，代入式（4）就可以得出计算内1212含报酬率的直线插值法公式。即N1()I=i+i-i（5）121N-N12式中：iN。1212（2）几何意义NNAABCD00CDiB（1）内插法（2）外插法图一直线插值法确定内含报酬率示意图Fig1Inter

6、polationmethoddeterminetheInternalRateofReturnsketchmap直线插值法的几何意义就是净现值曲线上A、B两点的连线或其延长线与N=0时的i轴相交于C点，C点的折现率就是直线插值法所确定的内含报酬率,D点的折现率就是内含-2-http://www.paper.edu.cn报酬率的真值。由于净现值曲线上A、B两点之间的连线是净现值曲线的弦线，所以从几何的角度来讲直线插值法又称弦线法。当N>0>N时，内含报酬率的真值（即净现值曲线与N=0时的i轴相交于D点的12［1、2、3、4、］折

7、现率）落在[i,i]区间以内，此时的直线插值法称为直线内插法［如图一(1)所12示］。现在财会文献中介绍的都是这种方法及其变形，应用非常广泛。当N>N>0或者0>N>N时，内含报酬率的真值落在[i,i]区间以外，位于其121212［5、6］后方或者前方，此时的直线插值法称为直线外插法［如图一(1)所示］。2.1.2直线微分法（1）计算公式如果将式（4）两边对折现率i进行求导，系数b就是净现值导数的绝对值，这样一来净现值与折现率之间的直线关系就可以写成如下形式：N=-N¢(I-i)（6）式中：N¢是净现值的一阶导数，可以用下式

8、计算。n-(t+)1N¢=-∑tNCF1(+i)（7）tt=1由式（6）可以得出计算内含报酬率的直线微分法公式。公式如下：NI=i-（8）N¢直线微分法实质上就是直线插值法在i-i®0时的极限形式，可以看成是直线外插21法的一个特例。（2）几何意义直线微分法的几何意义就是净现值曲线上A点的