全等三角形综合.doc

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1、三角形综合练习ztzt-jz2002-9-12例1(1)平面上六个点A、B、C、D、E、F构成如图所示图形。求ÐA+ÐB+ÐC+ÐD+ÐE+ÐF的度数和分析:从图形中看出所求几个角分散于三个不同的三角形中,而其中ÐA与ÐB,ÐE与ÐF,ÐC与ÐD皆可通过三角形外角与内角关系转化到同一个MNG中,于是问题得以解决。(本题利用对顶角相等,三角形内角和定理,也可证出本题结论)例2在三角形的每一个顶点处只取一个外角,那么,在得到的三个外角中,最多有多少个钝角？最少呢？解:对于锐角三角形,则相应的三个外角全是钝角,对于直角或钝角三角形而言则相应的三个外角中

2、,只有两个锐角。所以本题的结论是三个和两个。(1)已知,在ABC中,O为ABC的角平分线的交点①求证证明:∵O点是ABC角平分线的交点,∴,∵,②有关三角形中角的计算问题,通常把所求的角看作未知数,找出其它角与未知角的关系式可以看作是一个方程,这种利用代数方法(方程)来解几何题是一条重要途径。本题可以按方程思想改写如下证明:设所求的角ÐBOC为x,则在BOC中有即③从图形结构中我们可以看到ÐBOC背向ÐA,面对,此时,我们可以得到:,(同学们可以自己证明)④我们在本题的图形结构上,再过O点,作OG^BC于G,求证:ÐDOB=ÐGOC。分析:要证明

3、ÐBOD=ÐCOG根据已知和③问的结论考虑到利用角,特别是三角形内角和与直角三角形两锐角互余来证明,由于,我们应向的思路上考虑证法。∵∴∴（1）在ABO中得到代入（1）式中有=由此Ð1=Ð2(4)如图D是ABC边BC的延长线上一点,DF与AB垂直,垂足为F且交AC于E,ÐA=40°,ÐD=25°。求ÐECB的度数。解法一、把ÐECB看作ABC的内角∵DF^AB,∴ÐDFB=90°又∵ÐD=25°,则在BDF中ÐB=180°－(ÐDFB+ÐD)=65°又∵ÐA=40°,则在ABC中,ÐECB=180°－(ÐA+ÐB)=75°解法二、把ÐECB看作E

4、CD的外角∵DF^AB,∴ÐAFE=90°又∵ÐA=40°,则在AEF中ÐAEF=180°－(ÐA+ÐAFE)=50°在ECD中,∴ÐCED=ÐAEF=50°又∵ÐD=25°,∴ÐECB=ÐCED+ÐD=75°答:ÐECB的度数是75°(5)如图P为ABC内任意一点,连结PB、PC求证:BCBD在PDC中,PD+DC>PC两式相加AB+(AD+DC)+PD>BD+PC又∵BD=PB+PD,AD+DC=AC代入上式∴AB+AC+PD>PB+PC+PD∴AB+AC>PB+PC即P

5、B+PC

6、AB=CD再去证其它几对三角形全等。由上所述,证明三角形全等的基本方法如下图所示①平移②旋转③翻折例5、已知:AC^CD于C,BD^CD于D,M是AB的中点,连接CM并延长交BD于点F。求证:ACM≌BFM证明:∵AC^CD于CBD^CD于D∴AC∥BD(同垂直于一条直线的两条直线平行)有ÐA=ÐB(两直线平行内错角相等)∵M是AB中点∴AM=BM又∵ÐAMC=ÐBMF(对顶角相等)∴ACM=BFM(SAS)本题也可利用角角边来证全等。(对于FCD有ÐBFM=90°+ÐFCD,而ÐACM=90°+ÐFCD,∴ÐBFM=ÐCDM)例4、AD是ABC

7、中BC边上的中线CE^AD,BF^AD,E,F为垂足,求证:CE=BF。简证:……CED≌BFD(ASA)∴CE=BF(全等三角形对应边相等)例6、四边形ABCD中,AD∥BC,E是线段DC的中点,AE是ÐBAD的平分线求证:BE是ÐABC的平分线证明:延长AE与BC的延长线交于F,∵AD∥BC∴Ð2=ÐF(两直线平行内错角相等)又∵E是DC的中点∴DE=EC(线段中点的定义)又∵ÐAED=ÐFEC(对顶角相等)∴AED≌FEC(ASA)有AE=EF(全等三角形对应角相等)∵AE是ÐDAB的平分线(已知)∴Ð1=Ð2(角平分线定义)则Ð1=ÐF(

8、等量代换)在ABF中AB=BF(在一个三角形中等角对等边)∴ABE≌FBE有ÐABE=ÐFBE(全等三角形对应角相等)∴BE平分ÐABF