空间解析几何(1)

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1、1.1空间解析几何1)理解向量的概念及其表示，掌握向量的线性运算、数量积、向量积及混合积，了解两个向量垂直、平行的条件，掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。2)掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互之间的位置关系解决有关问题3)了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程及母线平行于坐标轴的柱面方程，了解空间曲线的参数方程和一般方程以及空间曲线在坐标面上的投影曲线方程１.1.1向量代数１　向量及其线性运算既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向

2、量。向量的大小称为向量的模，记作。向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。向量与向量的和是一个向量，利用平行四边形法则或三角形法则则可得向量，如图1.1-1、图1.1-2所示。向量的加法符合下列运算规律：1)交换律：　2)结合律：向量与向量的差定义为向量与的负向量的和，即由向量加法的三角形法则可知：；向量与实数的积记作，它是一个向量，它的模它的方向当时，与向量相同；当时，与向量相反。向量与数的乘积符合下列运算规律：1)结合律　121)分配律　；由向量与数的乘积的定义，可得以下定理。定理：设向量，那么，向量与向量平行的充分必要条件

3、是：存在唯一的实数，使。２向量的坐标设有空间直角坐标系，分别表示沿着轴正向的单位向量，是以为起点，为终点的向量，则向量可表示为：或其中、、称为向量的坐标。利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：设：则非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为它的方向角。向量的模、方向角与坐标之间有如下关系：、、其中，、、称为向量的方向余弦。利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：，，由上式可得：以向量的方向余弦为坐标的向量（、、）是与向量同方向的单位向量。3数量积向量积混合积设向量和向量的夹角为，向量和向量的数量积为一个数量，记作，其大

4、小为，即向量在轴上的投影（记作）等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦，即：12由数量积的定义可知，向量与向量垂直的充分必要条件是。向量的数量积符合下列运算规律：1.交换律　2.分配律　3.结合律　,为实数注：数量积不满足结合率：，该式本身就不成立，本身就是一个数量，并非向量，无法与c进行数量乘。数量积的分配率证明如下：对于平面向量：因为因此：对于空间向量因为因此：向量和向量的向量积为一个向量，记作，即，的模的方向垂直于与所决定的平面，的指向按右手法则确定。设向量、，则：12或：注：上述两式证明如下：设则：由于之间两两垂直，因此相互之间的点

5、乘为０，自身的点乘为１，故上式即可简化为：向量积的证明方法同上由向量的的定义可知，向量和向量平行的充分必要条件是。向量的向量积符合下列运算规律：1.，这表明交换律对向量积不成立2.分配律：3.结合律：，为实数三个向量、和的混合积是一个数量，这个数量通过先作向量积，再做数量积得到，混合积记作，即：设，，，则向量的混合积有下述几何意义：是这样一个数，它的绝对值表示以向量、、的棱的平行六面体的体积，它的符号由向量、、组成的右手系还是左手系来确定，前者为正，后者为负。注例1.1-6已知不在一平面上的四点：、、、，求四面体ABCD的体积。解：四面体

6、ABCD的体积V等于以向量、和为棱的平行六面体的体积的六分之一，由混合积的几何意义可知，六面体的体积等于的绝对值，故：12上式中符号的选择与行列式的值的符号一致。关于“四面体ABCD的体积V等于以向量、和为棱的平行六面体的体积的六分之一”以正方体为例，对此处的六分之一进行理解：其中，即是向量、和为棱的平行六面体的体积。由此，四面体的体积是平行六面体体积的六分之一。１.1.2平面1平面的方程设平面经过点，它的一个法向量，则平面的方程为。此方程称为平面的点法式方程。平面的一般方程为：其中为该平面的法向量。设一平面与轴分别交于、和三点（其中，，

7、），则该平面的方程为：此方程称为平面的截距式方程，、、依次称为平面在、、轴上的截距。（注：当时，，依次考虑三种情况，可理解截距式方程）对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点：如，在方程：中，当时，方程表示一个通过原点的平面；当时，方程表示一个平行于轴的平面，当时，方程表示一个平行于面的平面。类似地，可得其他情形的结论。122两平面的夹角两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角（通常指锐角）。设有平面和平面，则和的夹角由下式确定：由此可得：和互相垂直相当于：（注：可用数量积证明之）和互相平行相当于：（注：可用向量积证明之）3点到平

8、面的距离空间一点到平面的距离，由以下公式计算：证明：设Ｍ、Ｎ、Ｐ的坐标分别是、、。则向量。Ｐ到平面的距离，即向量在法向量上的投影，用数量积的方法证明之：１.1.3直线1空间直线的方程设空间直线