空间点线面之间的位置关系与三垂线定理

《空间点线面之间的位置关系与三垂线定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、空间点、线、面之间的位置关系与三垂线定理1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，

2、或者用同一法证明两平面重合【例1】已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如下图），求证：（1）对角线AC、BD是异面直线；（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上.解析：（1）利用反证法证明对角线AC、BD是共面直线，推出矛盾，从而证明是异面直（2）说明直线EF和HG必交于一点，然后证明这点在平面ADC内．又在平面ABC内，必在它们的交线AC上．证：（1）假设对角线AC、BD在同一平面α内，则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间

3、四边形矛盾，∴AC、BD是异面直线．（2）∵E、H分别是AB、AD的中点所以EH平行且等于1/2BD,又F、G分别是BC、DC的三等分点，EG平行等于2/3BD，．∴EH∥FG，且EH＜FG．∴FE与GH相交设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内．同理，O在平面ABC内．从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上．例2．下列命题中正确的是（D）A．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个；B．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个；C．过直线外一点作该直线的垂线有且只

4、有一条；D．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个。2.空间直线.（1）.空间直线位置关系三种：相交、平行、异面.相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点第15页共15页例3．判断下列命题的真伪：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交；③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.④两条平行线在同一平面内的射影图

5、形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面.⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（2）.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平

6、行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）.（直线与直线所成角）（向量与向量所成角推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）.两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.[注]：是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内.（或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面）3.直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）

7、.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行线面平行”）例4．判断下列命题的真伪：第15页共15页①直线与平面内一条直线平行，则∥.（×）（平面外一条直线）②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交.（×）（平面外一条直线）③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.（√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.（×）（可能在此平面内）⑤平行于同一个平面的两直线平

8、行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑥直线与平面、所成角相等，则∥.（×）（、可能相交）（3）.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）（4）.直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.l若⊥，⊥，得⊥（三垂线定理），l三垂线定理的逆定理亦成立.基准平面主线垂线正定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，