空间向量与立体几何(6)

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1、高中数学复习点睛—空间向量与立体几何（一）一、考点（限考）概要：    1、空间向量及其运算     （1）空间向量的基本知识：          ①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。          ②空间向量基本定理：           ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。        

2、   ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。           ⅲ单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。           ⅳ空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。        ③共线向量（平行向量）：          ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。         

3、 ⅱ规定：零向量与任意向量共线；          ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数λ，使。                ④共面向量：           ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。          ⅱ向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在α内，则说向量平行于平面α，记作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。                          ⅲ共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与

4、向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。          ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。          ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意一定点O，有。       ⑤空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，（两个向量的起点一定要相同），则叫做向量与的夹角

5、，记作，且。                    ⑥两个向量的数量积：        ⅰ定义：已知空间两个非零向量、，则叫做向量、的数量积，记作，即：。        ⅱ规定：零向量与任一向量的数量积为0。        ⅲ注意：两个向量的数量积也叫向量、的点积（或内积），它的结果是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值。        ⅳ数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影（其中θ为向量和的夹角）。          即：数量积等于向量的模与向量在方向上的投影的乘积。        ⅴ基

6、本性质：                   ⅵ运算律：             （2）空间向量的线性运算：      ①定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：      ②加法：      ③减法：      ④数乘向量：      ⑤运算律：       ⅰ加法交换律：       ⅱ加法结合律：       ⅲ数乘分配律：二、复习点睛：   1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一

7、个十分有效的工具。   2、根据空间向量的基本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标系，形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循“三步”：一化向量问题，二进行向量运算，三回到图形问题。其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。   3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律，因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然适用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙

8、，尤其去括号就显得更为突出，下面两个公式较为常用，请务必记住并学会应用：。高中数学复习点睛—空间向量与立体几何（二）一、考点（限考）概要：   2、空间向量的坐标表示：    （1）空间直角坐标系：        ①空间直角坐标系O-xyz，在空间选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，点O叫做原点，向量叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面