立体几何中角度与距离求法

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1、立体几何中角度距离的求法一空间向量及其运算1.空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝___________.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔______________a⊥b⇔__________⇔________________________(a，b均为非零向量).(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

2、a

3、＝＝__________________，cos〈a，b〉＝＝__________.设A(a1，b1

4、，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝

5、

6、＝___________.2.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a，b〉＝，则称a与b__________，记作a⊥b.②两向量的数量积，已知空间两个非零向量a，b，则____________叫做向量a，b的数量积，记作__________，即__________________.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝__________

7、__；②交换律：a·b＝__________；③分配律：a·(b＋c)＝__________.2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是________________________.推论，如图所示，点P在l上的充要条件是：＝＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝________或＝(1－t)＋t.(2)共面向量定理的向量表达式：p＝____________，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝____________或＝x＋y＋

8、z，其中x＋y＋z＝______.(3)空间向量基本定理，如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝____________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底.二用向量的方法求角度(一)知识清单1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为.2.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝________

9、____.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝__________.(3)求二面角的大小1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝____________.2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝________________________________________.(二)题型题型一求异面直线所成的角例1如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3AA1＝2.E、F分别是线段AB、B

10、C上的点，且EB＝BF＝1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值.解方法一以A为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是＝(1,3,2)，＝(－4,2,2)，设EC1与FD1所成的角为β，则：cosβ＝＝＝，∴直线EC1与FD1所成的角的余弦值为.方法二延长BA至点E1，使AE1＝1，连接E1F、DE1、D1E1、DF，有D1C1∥E1E，D1C1＝E1E，则四边形D1E1EC1是平行四边形.则E1D1∥EC1.于是∠E1D1F(或补角)为直线EC1与FD1所成的角.在Rt△BE

11、1F中，E1F＝＝＝.在Rt△D1DE1中，D1E1＝＝＝＝.在Rt△D1DF中，FD1＝＝＝＝.在△E1FD1中，由余弦定理得：cos∠E1D1F＝＝.∴直线EC1与FD1所成的角的余弦值为.练习1如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝.OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点.(1)证明：直线MN∥平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小.(1)证明作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，