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《求常系数线性常微分方程特解的有限递推法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、求一类常系数线性常微分方程特解的有限递推法*方有康**北京航空航天大学北海学院Email:fykfyk2004@yahoo.com.cn*收入教育数学深圳会议论文集；被写入教材《高等数学新讲》(2008.10)；发表于《数学的认识与实践》(2009.09）**作者简介：教育数学学会个人常务理事。北京航空航天大学北海学院教授。德国Albert-Ludwigs-University(Freiburg)大学应用数学博士。摘要:对于非齐次项为多项式，指数函数，正(余)弦函数，或它们的乘积形式的常系数线性常微分方程，本文提出了求其特解的有限递推法.它方法统一，计算简洁，便于编程，能解
2、决高阶问题,能在有限步内得出方程的解析特解，因而优于目前广泛采用的待定系数法.关键词：常系数线性常微分方程；递推法；待定系数法MR(2000)主题分类11D41中图分类O175.111.问题的提出本文求如下的n阶常系数线性常微分方程的特解:(1.1)(1.2)式中;=1;∈R;∈c;.在科学技术上,这是一类很重要的微分方程.目前国内外的高等数学,工程数学或常微分方程的教科书中都采用待定系数法来求这类微分方程的特解.这需要首先求出所对应的齐次方程的特征根（因为要确定特征方程各特征根的重数），再按是特征根的重数（当(1.1)或(1.2)的右端不含三角函数时）设特解为；8当(1.
3、1)或(1.2)的右端含三角函数时，按是特征根的重数设特解为.然后计算的各阶导数，再把它们代回原方程中,比较方程两边同类项的系数，得出一个线性方程组,然后再解这个线性方程组才能求出的各项待定系数.整个求解过程繁琐，计算量大.特别是方程的右端是高次多项式和三角函数及指数函数的乘积时，求导过程中的各阶导数表达式的项数将以几何级数的方式急剧增加，得出的线性方程组也是一个大型的线性方程组.当方程阶数较大时，待定系数法更是显得无能为力.本文提出的有限递推法无需先求出所对应的齐次方程的特征根，无需设定特解的形式且具有计算简洁，方法统一，便于编程，能解决高阶问题和能在有限步内得出方程的解
4、析特解的特点,很好地解决了待定系数法所遇到的困难.2．主要成果让我们首先来解决方程右边仅为多项式的情况，设方程(2.1)式中为的次多项式.不失一般性,我们规定上式中≠0.因为若不然,我们可以令方程左边非零最低阶项为新的,其余各项(可以为零)按的导数的阶数由低到高分别为,且方程右边不变，对这样得出的新方程我们称之为原方程的降阶方程.求出降阶方程的特解再积分,就得出原方程的特解.例如要求的特解,我们先求出的特解,再对其积分就得出原方程的特解了.定理1令方程(2.1)左端导数阶数最小(非零)项为记,则当时(当时,方程的特解显然为),方程的特解可由如下的递推公式最多在步内推出:,(
5、2.2)对计算(2.3).(2.4)8证明当时,用(2.1)式的两边对求导次,便得出(2.2)式(此时的高于的各阶导数为零).因为在上述求导过程中(2.3)式中右边的各项都已求得,所以再按(2.3)进行初等的代数递推便可得出(2.4).例1求方程的特解.解我们首先求其降阶方程(2.5)的特解。这里.对方程次求导并删除高于的各项(显然等于零),我们有,(2.6).以代入(2.6)得再代入(2.5)得.积分之,得所求原方程的特解为.对于方程右端是指数函数，正(余)函数与多项式的乘积形式,我们有如下的定理及其推论.定理2设是方程(2.7)的特解,是方程(2.8)的特解,式中如定理
6、1所定义.令,(2.9)是(2.1)所对应的齐次方程关于的特征多项式,,(2.10)8(2.11),则必有.证明对,方程(2.7),(2.8)可写为,(2.12).(2.13)将(2.13)代入(2.12)得.(2.14)比较(2.14)两边同阶导数项给出.当时,方程(2.7),(2.8)可写为,(2.15)和.(2.16)将(2.16)代入(2.15)得=(+2)+()+=++.对上式应用两个函数乘积的二阶导数的萊布尼茨公式,我们有,(2.17)比较(2.17)两边同阶导数项得.一般地,对,将(2.8)代入(2.7)得.代入(2.9),(2.10)和(2.11)所给出的各
7、的值,我们有=+…+.8对上式用两个函数乘积的阶导数的萊布尼茨公式得出.于是,.证毕.推论2.1方程(1.1)的特解是=Re();方程(1.2)的特解是=Im().推论2.2方程的特解是=.例2求方程的特解.解先确定方程(2.18)因为,,而,所以,,方程(2.18)为.(2.19)先求(2.19)的降阶方程(2.20)的特解.因,将该方程两边对求导一次并删除导数阶数高于1的项(导数阶数高于的项为零),得.以代入(2.20),得,积分得方程(2.18)的特解为.再由推论2.1得原方程的特解为.由于该题中的非齐次项是
