平面向量的基本概念-教师

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1、第二讲平面向量的基本概念一、向量的基本概念思考：生活中有哪些量是既有大小又有方向的？哪些量只有大小没有方向？向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。回答下列问题：(1).数量与向量有何区别？(2).如何表示向量？(3).有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？(4).长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？1.数量和向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b(黑体)等表示；③用有向线段的起点与终点字母

2、表示：；向量的大小——长度称为向量的模，记作

3、

4、。3.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。向量与有向线段的区别：⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。4.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作。②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。5.满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量？相等向量的定义：长度相等

5、且方向相同的向量叫相等向量。18说明：⑴向量与相等，记作=；⑵零向量与零向量相等；⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。3.平行向量的定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平行。说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义；⑵向量平行，记作。二、向量的运算法则1.向量的加法问题：数可进行加法运算：1+2=3，那么向量的加法是怎样定义的？长度是1的向量与长度是2的向量相加是一定是长度为3的向量呢？①某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：；②若上题改为从A到B，再从B

6、按反方向到C，则两次的位移和；③某人从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移和。⑴向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。⑵三角形法则：⑶四边形法则：练习：化简2.向量的减法探究：1.向量是否有减法？2.向量的减法是否与数的减法有类似的法则？⑴相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。①；18②任一向量与其相反向量的和是零向量，即：；③如果是互为相反的向量，则：。⑵向量的减法：向量加上的相反向量，叫做和的差。即向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向量。注意：①起点相同

7、；②指向被减向量的终点。例1.平行四边形ABCD中，，用、表示向量。例2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为、、，试用向量、、表示。3.向量的数乘运算实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：⑴；⑵当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反；特别的，当=0或=时，=。注意：实数与向量，可以做积，但不可以做加减法，即+，-是无意义的。实数与向量的积的运算律：设、为任意向量，为任意实数，则有：①；②③例1.计算；；18例2.计算(1).(2).结论：向量与非零向量共线，当且仅当有唯

8、一一个实数，是的=。例3.向量是否共线？例4.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且,你能用表示吗？三、向量运算法则的应用向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算，对任意实数，恒有。1.有关向量共线问题例1.已知向量满足，求证：向量共线。例2.已知,试判断是否共线？定理的应用：(1).有关向量共线问题；(2).证明三点共线：三点共线；(3).证明两直线平行问题。例3.已知任意两个非零向量，试作18，你能判断三点间的位置关系吗？为什么？例4.在四边形中，，求证：四边形为梯形。三、向量的坐标表示及其运算在平面直角坐标系内，方向

9、分别于x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量（normalizedorthogonalbasevector），分别记为和考虑是平面上任一向量，怎样用基本单位向量、表示呢？如图将向量的起点置于坐标原点O，记终点为A，则有。我们将叫做点A的位置向量如果点A的坐标为(x，y)，那么点A在x轴上的射影点A1的坐标是(x，0)，点A在y轴上的射影点A2的坐标是(0，y)。根据前面的定义，有，。由向量的平行四边形法则，可知=+=+。在上式中，向量能表示成两个相互垂直的向量、分别乘以实数x、y后组成的和式，该和式称为、的线性组合。这种向

10、量的表示方法叫做向量的正交分解（orthogonaldecompositionofvectors）。平面上任意向量都有与它相等的位置向量，所以向量也都可以用基本向量、表示：==+。其中的系数x、y是与向量相等的位置向量的