平面向量基本概念

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1、平面向量的实际背景及基本概念1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。4.有向线段的三要素：起点，大小，方向A(起点)B（终点）a5.有向线段与向量的区别；（1）相同点：都有大小和方向（2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线段表示

2、相同（等）的向量。③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成6.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；7.向量的模：向量的大小（长度）称为向量的模，记作

3、

4、.8.零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为1的向量称为单位向量。9.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0∥ａ。说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.10.相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（

5、1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.11.共线向量与平行向量关系：BAOCDEF平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。（2）共线向量是可以相互平行的。例1.判断下列说法是否正确，为什么？（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什

6、么向量？（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。（2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。（3）零向量（4）零向量（5）共线向量（平行向量（6）长度相等且方向相同（7）不一定，可以平行。例2.下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量

7、是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例3.如右图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量相等的向量。解：按照向量相等的定义可知：向量的加法运算及其几何意义１．向量的加法：求两个向量和的运算，

8、叫做向量的加法.２．三角形法则（记忆口诀：“首尾相接，从头指尾”）3.三角形法则的来由如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定：a+0-=0+aABCa+ba+baabbaｂba+ba4.向量加法的字母公式：5.平行四边形法则图1如图1,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.6.平行四边形法则与三角形法则的区别：（1）平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形，最终和向量的结果的起点和两个

9、分向量的起点是同一起点。（1）三角形法则要求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起，然后连接第一个向量的起点和第二个向量的终点组成三角形，最终和向量的结果是：由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。7.一般结论当a,b不共线时,

10、a+b

11、<

12、a

13、+

14、b

15、(即三角形两边之和大于第三边);当a,b共线且方向相同时,

16、a+b

17、=

18、a

19、+

20、b

21、;当a,b共线且方向相反时,

22、a+b

23、=

24、a

25、-

26、b

27、(或

28、b

29、-

30、a

31、).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,

32、a+b

33、=

34、a

35、-

36、b

37、;当向量a的长度小于向量b的长度时,

38、a+b

39、=

40、