平面向量的概念及线性运算(3)

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1、§5.1　平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有______又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或称____)平面向量是自由向量零向量长度为____的向量；其方向是任意的记作____单位向量长度等于________的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向____或____的非零向量0与任一向量____或共线共线向量______________的非零向量又叫做共线向量相等向量长度____且方向____的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度____且方向____的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算

2、律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝________.(2)结合律：(a＋b)＋c＝__________.减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差______法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

3、λa

4、＝________；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向____；当λ<0时，λa的方向与a的方向____；当λ＝0时，λa＝____λ(μa)＝____；(λ＋μ)a＝_____；λ(a＋b)＝______3.共线向量定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．[难点正本　疑点清源]1．向量的两要素向量具有大

5、小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．1．(课本改编题)化简－＋－的结果为________．2．在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝____________.3．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是

6、共线向量；④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是________．4．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．5．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么(　　)　A.＝B.＝2C.＝3D．2＝题型一　平面向量的概念辨析例1　给出下列命题：①若

7、a

8、＝

9、b

10、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是

11、a

12、＝

13、b

14、且a∥b.其中正确命题的序号是________．判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)若向量a

15、与b同向，且

16、a

17、>

18、b

19、，则a>b；(2)若

20、a

21、＝

22、b

23、，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若

24、a

25、＝

26、b

27、，且a与b方向相同，则a＝b；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等．题型二　向量的线性运算例2　如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.　如图，在△ABC中，E、F分

28、别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示.题型三　平面向量的共线问题例3　设两个非零向量a与b不共线，(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．如图所示，△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．11.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：(13分)如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.方法与技巧1

29、．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如∥且AB与CD不共线，则AB∥CD；若∥，则A、B、C三点共线．失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，