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1、微分方程讲义与例解一．常微分方程的基本概念1．1常微分方程:含有未知函数及未知函数的导数和自变量的等式.1．2方程1阶:方程中所含未知函数导数的最高阶数.1．3方程的解及初始条件:设一般的阶方程为…,,是定义在某区间上的函数,切满足…,,,则称为方程的解.条件:…,称为方程…,的初始条件.满足初始条件的解称为特解.含有个任意常数的解称为通解.二．一阶方程一般的一阶微分方程为或者.2．1可分离变量的方程:.求解的步骤是(1)分离变量得,(2)两边同时积分.如果令为的某一原函数,为的某一原函数,则为方程的隐式通解.2．2齐次方程:.求解的步骤是(1)作变换:令则,两端同时
2、求导得代入原方程得,于是为一分离变量的方程,由2．1可解,设其通解为.(2)代回原变量得.2．3一阶线性方程:(1)当≡时,称方程(2)为一阶齐线性方程.否则称为一阶非齐线性方程.方程(2)是可分离变量方程,其通解为.而非齐线性方程(1)的通解为.2．4佰努利方程:,解:以除方程两端,得,令,有为一阶线性方程,求解后再把回代即得原方城的通解.2．5全微分方程:对称式的微分方程,为全微分方程的充分必要条件是.其通解为.例1设连续函数满足关系式,则.解,且.于是,又,知从而.例2已知函数在任意点处的增量为,且,则.解或,这是可分离变量的方程,解之得=,由,知,于是,.例3
3、求方程的通解.解当有,令代入原方程得,,,.例4求方程的通解.解令,,,代入原方程得,,,因此,代回原变量有.例5求微分方程的通解.解.例6设函数具有一阶连续导数,且,若曲线积分与路径无关,则的表达式为().(A).(B).(C).(D).解由曲线积分与路径无关,因此有,即.解之得,由于,因此,所以,选(B).例7若是的一个特解,则该方程满足初始条件的特解为().(A).(B).(C).(D).解,由于有一特解,因此知,且,所以有,,原方程为,其通解为,由得,因此,选(D).例8求微分方程的通解.解,因此.例9求的通解.解原方程为,令,得.解之,于是.例10求解.解将
4、原方程两端同乘变形为,于是有,令,有为一阶线性方程,可解之.例11已知函数在上可导,且满足等式,求的表达式.解由的可导,由上式知可导,故二阶可导,对上式两端同时对求导得,解之得.由于,,故.例12的通解.解由,因此,方程是全微分方程,存在使,,,又,故为其通解.三、可降阶的高阶方程3．1解,,…,…….3．2,方程中不显含变量.解令则,于是将原方程降为一阶方程为,此方程通解为,即,因此.3．3,方程中不显含自变量.解令把看作的函数,而又是的函数,从而是的复合函数,于是有.因此得到一阶方程为,解此一阶方程得通解为,则,这是可分离变量方程,因此可求解.例1求的通解.解方程
5、中不含变量,因此令,于是,,即,从而有.例2求初值问题的解解令.,,或≡,由知≡,从而,,又由知.例3求的通解.解令,于是,即为佰奴里方程,,令,,,,,,四、高阶线性方程…,(3)当≡时,得到…,(4)方程(3)称为阶非齐次线性方程,方程(4)为方程(3)相应的阶齐次线性方程.定理1．(解的叠加性)阶齐线性方程(4)的任意个解…,的线性组合:…仍是(4)的解,其中…,为任意常数.定理2．阶齐线性方程(4)存在个线性无关的解:….于是它的通解为….定理3．(3)的一个解加上(4)的一个解是(3)的一个解;(3)的任意两个解之差是(4)的一个解.定理4．(3)的通解等于
6、(4)的通解加上(3)的一个特解,即….五、常系数线性方程(以二阶为例)1．二阶常系数齐线性方程,其中为实常数.解其特征方程,因此,特征根有三种情况:(1),两个不同的实根,则其通解为.(2),两个相同的实根(二重根),则其通解为.(3),一对共轭复根,则其通解为.2．二阶常系数非齐线性方程.(Ⅰ),其中是的次多项式.解由定理(4)知仅对其求一特解即可,用代定系数法求一特解.设其特解为:,其中取决于为其特征根的重次:不是特征根,;是单根,;是二重根,.….代入确定.(Ⅱ),其中分别是的次多项式.解设其特解为,其中取决于为特征根的重次:不是特征根时,;为单根时,.分别是
7、两个不同的次多项式.例1微分方程特解形式.解由于特征方程,是单特征根,因此,方程的特解形式为.例2已知,,,是某二阶线性非齐次方程的三个解,则此微分方程是_________.解,,因此,,于是特征方程为(),对应的齐次方程是.设非齐项为,令,将代入方程确定,从而方程为.例3设是二阶线性齐次微分方程的两个特解,是任意常数,则().()一定是微分方城通解.()不可能是通解.()是方程的解.()不是方程的解.例4设是二阶非齐线性方程的三个线性无关的解,是任意常数,则此方程通解是().()....例5具有特解,的三阶线性常系数齐次微分方程是().....解,
