常微分方程数值解与matlab

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1、实验4-常微分方程数值解1.求解常微分方程数值方法介绍（1）一阶微分方程求方程(1)的数值解,就是计算(精确)解在一系列离散点的近似值.通常取相等的步长h,于是xn=x0+nh(n=1,2,…).(a)欧拉方法基本思想是在小区间[xn,xn+1]上用差商代替方程(1)左端的导数而方程右端函数f(x,y(x))中的x取[xn,xn+1]上得某一点,公式为（2）实验4-常微分方程数值解(b)Runge-Kutta方法基本思想是用小区间[xn,xn+1]上的若干个点的导数的线性组合代替方程(2)右端的,一般形式为(3)满足并使

2、(3)的局部截断误差-------L级p阶Runge-Kutta公式实验4-常微分方程数值解(2)常微分方程组和高阶方程的数值方法欧拉方法和Runge-Kutta方法可直接推广到求常微分方程组,如对欧拉公式为Runge-Kutta公式有类似的形式.对高阶方程(5)需先降阶化为一阶常微分方程组,降阶方法不唯一.简单、常用的方法是令y1=y,将(5)化为实验4-常微分方程数值解2.Runge-Kutta方法的MatLab实现对微分方程(组)的初值问题Runge-Kutta方法用MatLab命令实现:[t,x]=ode23(@

3、f,ts,x0,options)%用3级2阶Runge-Kutta公式[t,x]=ode45(@f,ts,x0,options)%用5级4阶Runge-Kutta公式命令的输入f是待解方程写成的函数M文件:functiondx=f(t,x)Dx=[f1;f2;…;fn];实验4-常微分方程数值解2.Runge-Kutta方法的MatLab实现举例：仿真模拟著名的Lorenz系统混沌图其中，先建立一个函数M文件functionxdot=lorenz(t,x)sigma=10;r=28;row=8/3;xdot=[-sigm

4、a*x(1)+sigma*x(2);(r-x(3))*x(1)-x(2);x(1)*x(2)-row*x(3)];实验4-常微分方程数值解2.Runge-Kutta方法的MatLab实现画出Lorenz系统图clearall;clf;options=odeset('RelTol',1e-5,'AbsTol',1e-5);tspan=[0,100];x0=[1,2,3];[t,x]=ode45('lorenz',tspan,x0,options);l=length(x(:,1));a=1;b=l;figure(1)plot

5、3(x(a:b,3),x(a:b,1),x(a:b,2),‘b’);gridon;%画出三维相图xlabel('z');ylabel('x');zlabel('y');figure(2)subplot(311);plot(t,x(a:b,1));%画三分量演化图subplot(312);plot(t,x(a:b,2))subplot(313);plot(t,x(a:b,3))实验4-常微分方程数值解2.Runge-Kutta方法的MatLab实现作业报告：著名的Duffing系统（描述弹簧系统性质）其中类似的，分别画出F

6、=1，2，3，4，6等时的相图翻阅一些参考书，你能得到一些什么结论？实验4-常微分方程数值解3.实例问题缉私艇追击走私船海上边防缉私艇发现距d公里处有一走私船正以匀速a沿直线行驶,缉私艇立即以最大匀速度v追赶,在雷达的引导下,缉私艇的方向始终指向走私船.问缉私艇何时追赶上走私船?并求出缉私艇追赶的路线.SS0dM(x,y)（1）建立模型走私船初始位置在点(S0,0),行驶方向为x轴正方向,缉私艇的初始位置在点(0,M0),在时刻t：走私船的位置到达点:(S0+at,0)缉私艇到达点M(x,y)S0dM(x,y)S（2）模

7、型求解（a）求解析解令：令：（2）模型求解(a)求解析解当y=0时:走私船a=0.4千米/秒，分别取v=0.6,0.8,1.0千米/秒时，缉私艇追赶路线的图形。clearall;clf;a=0.4;v=[0.60.81.0];%取不同的速度r=0.4./v;t=20*r./(a*(1-r.^2))%追上的时间fori=1:3y=20:-0.01:0;x(:,i)=-0.5*(-40*r(i)+20^(-r(i))*(r(i)-1)*y.^(1+r(i))+20^r(i)*(r(i)+1)*y.^(1-r(i)))/(1-

8、r(i)^2);plot(x(:,i),y);axis([030020]);holdonend追赶时间分别为：T=60.0000,33.3333,23.8095（秒）2)当时，缉私艇不可能追赶上走私船。3），，当时，，缉私艇不可能追赶上走私船。（b）用MATLAB软件求解析解MATLAB软件5.3以上版本提供的解常微