微分方程(教师用

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1、第十一章微分方程177页第一节微分方程的基本概念177页阶常微分方程:，或初值问题（柯西问题）求方程满足已给初始条件的特解叫初值问题.一阶微分方程的初值问题，其几何意义是求微分方程的通过点的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题，记作：几何意义是求通过点且在该点处的切线斜率为的积分曲线。补例求下列曲线族所应满足的微分方程(1)；(2).分析：要求的微分方程其阶数应和曲线族中参数的个数一致.解：(1)，对求导，有：；，；故所求的微分方程是：(2)；对求一阶，二阶导数有：；(已不含参数)；所求微分方程是：习题11-1-微分方程的基本概念183页5.写出由下列条件

2、确定的曲线所满足的微分方程：(1)在点处的切线与该点向径垂直；5(1)（2）图解:补充1：指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（2），是。补充3：在下列各题中确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件（3），.,由,得练习册2设微分方程为(1)验证为任意常数）是方程的通解；(2)由通解求满足初始条件的特解。(3)说明上述通解和特解的意义。解：（1）所以结论成立。（2）又因为（3）通解是满足的一簇曲线。特解是过（0，1）的一条曲线。3社微分方程的通解为为任意常数，求此微分方程。解：求导：即或者：第二节一阶微分方程184页一变量可分离变量方程

3、若一阶微分方程能写成：或：的形式，称为变量可分离变量方程.分离变量积分：（4）就得通解.补例1：求解：解：其中是任意常数。补例2:放射性元素铀由于不断的有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫衰变，由原子物理学知，铀的衰变速度与当时未衰变的原子含量成正比，已知时铀的含量为求在衰变过程中铀的含量变化的规律。解：铀的衰变速度即，由题意有：补例3：是可分离变量方程，得：；两边积分得：，记作，得；故通解：归纳：积分过程中，原函数出现对数函数时，真数可以不加绝对值，任意常数也写为lnc。二.齐次方程：185页方程（6）称齐次方程.解法：令（为

4、未知函数），，原方程化为：这是可分离变量方程，解此方程，求出通解后，换回原变量得原方程通解.注：方程形如，可令即，原方程化为：三可化为齐次方程的微分方程187页（不讲）四一阶线性微分方程188页称为一阶线性方程.当时称为齐次线性方程，的通解为：这就是一阶线性方程通解的公式，另法：，两边同乘,即得：有时方程关于不是线性的，但视为自变量，是函数时，方程关于是线性的，此时有：方程：的通解为：.补例2：不是一阶线性方程，但可改写为：。即是方程的通解.二.贝努利方程：方程称为贝努力方程.解法：引入代换化为线性方程.，代回有：这就是一阶线性方程，求出通解后换回原变量，

5、就得原方程通解.补例3：设，且与路径无关，求，并求时的积分.解：积分与路径无关，故，所以有即一阶线性方程又得,下面求的积分能用变量替换化为可积型的方程：补例4：解方程：解：变形：这是一阶线性微分方程。；也可用变量代换法来解所给方程：令，代入原方程得：，以代回即得：五.全微分方程193页若方程的左端，恰是某二元函数的全微分，即，则称此方程为全微分方程或恰当微分方程.是全微分方程的充分必要条件是.取路径通解；或取路径：是通解补例1：解解：这里：，是全微分方程，取，取路径，由公式有：通解：补例2：求解：解：，，是全微分方程，取路径：；通解：含积分因子的方程：若对

6、方程，存在函数，使得是全微分方程，则称是原方程的积分因子.通常用下面的全微分式子来找积分因子：①；②；③；④；⑤；⑥；例如：方程不是全微分方程，但是，可知是一个积分因子，（不难验证：也都是积分因子，事实上：）；乘上其中任何一个积分，便得通解:又如,也不是全微分方程，但将其各项重新合并得：，容易看出为积分因子，方程就变为：补例：.判别方程是否全微分方程，并求通解.解:是全微分方程.通解：习题11-2一阶微分方程194页1.求下列微分方程的通解解：得从而有：即：.2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解.(1)得(2)，；解：分离变量得：；积分：，，得，所求特

7、解为（3），解：积分得：由初始条件得：特解为：（4）3.一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程.6图解：设切点为则切线的截距分别为即：通解为：由得：故曲线方程为4某车间体积为12000开始时空气中含有0.1％的二氧化碳，为了降低空气中二氧化碳的含量，用一台风量为每分钟2000的鼓风机通入含0.03％的二氧化碳的新鲜空气，同时以同样的风量将混合均匀的空气排出，问鼓风机开动6分钟后，车间内二氧化碳的百分比降低到了多少？解：以表二氧化碳的浓度，则；即：故=0.56％。5.求下列齐次方程的通解：（1）解：令：，回代得;解：变

8、形：补充：解：，，代回原变量得：。6.求齐次方程满足所给初始条件的