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1、用微分方程建模动态模型描述对象特征随时间(空间)的演变过程分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程引言Malthus模型和Logistic模型正规战与游击战X代表一大群居民在某个时刻t的人数表示当前的人口数量人数变化从物理上解释成x在时间段Δt上的平均变化率(差分方程)引言由导数的定义得到下面的微分方程导数起着两种不同的作用（1）在连续问题中表示瞬时变化率（2）在离散问题中逼近平均变化率常
2、见的有瞬时速度，切线斜率英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年（23岁）在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型。人口增长（Malthus）模型年1625183019301960197419871999人口(亿)51020304050601）世界人口增长概况2）中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化
3、规律控制人口过快增长基本假设：在人口自然增长过程中,单位时间内出生率为b,死亡率为c，净相对增长（出生率与死亡率之差：r=b-c）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数为r,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.1、指数增长模型或用瞬间变化率来逼近平均变化率精确解为结论：随着时间增加，人口按指数规律无限增长r=0.2743/10年，xm=4.188数据拟合：r=0.2022/10年，xm=6.0450各年人数（百万）1790年人数x/x0ln(x/x0)时间t3.93.91005.33.91.35897
4、40.30673107.23.91.8461540.613104209.63.92.4615380.9007873012.93.93.3076921.1962514017.13.94.3846151.47810250可以求出r指数增长模型的应用及局限性：与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代可用于短期人口增长预测不符合19世纪后多数地区人口增长规律不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)2.阻滞增长模型(Logistic模型)—马尔萨斯模型的改进人
5、口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设：r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（因资源、环境等能容纳的最大数量）r是x的减函数dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)：Logistic曲线参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……19601970198019903
6、1.438.650.2……179.3204.0226.5251.4阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1r=0.2557,xm=392.1模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0分析讨论人口极限xm。这说明人口是时间t的单调递增函数；
7、在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期模型推广应用人体身高变化体重变化分形模型产量变化存在问题r的计算数据的采集模型比较预测范围软件实现正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型一般模型每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力每方非战斗
8、减员率与本方兵力成正比甲乙双方的增援率为u(t),v(t)f,g取决于战争类型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假设模型正规战争模型甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战忽略非战斗减员假设没有增援f(x,y)=ay,a~乙方每个士
