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1、微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1.根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。2.找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。3.运用这些规律列出方程和定解条件。列方程常见的方法有：（i）按规律直接列方程在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。我们常利用这
2、些规律对某些实际问题列出微分方程。（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。（iii）模拟近似法在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。在一定的
3、假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。我们将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题。一、衰变问题镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量,这种现象称为放射性物质的衰变.根据实验得知,衰变速度与现存物质的质量成正比,求放射性元素在时刻t的质量.用x表示该放射性物
4、质在时刻t的质量,则表示x在时刻t的衰变速度,于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为(1)这是一个以x为未知函数的一阶方程,它就是放射性元素衰变的数学模型,其中是比例常数,称为衰变常数,因元素的不同而异.方程右端的负号表示当时间t增加时,质量x减少.解方程(1)得通解若已知当时,代入通解中可得则可得到方程(1)特解它反映了某种放射性元素衰变的规律.注:物理学中,我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期,不同物质的半衰期差别极大.如铀的普通同位素()的半衰期约为50亿年;通常的镭()的半衰期是上
5、述放射性物质的特征,然而半衰期却不依赖于该物质的初始量,一克衰变成半克所需要的时间与一吨衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年,正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础.二、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到
6、较完善的模型.例1（马尔萨斯（Malthus）模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解设时刻的人口为,把当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨
7、斯的假设,在到时间段内,人口的增长量为,并设时刻的人口为,于是这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样,,,于是.这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来
8、地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.例2（逻辑（Logistic
