微分方程建模

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1、微分方程在数学建模中的应用前言：怎样做数模？或：怎样完成一个数模题目？读懂问题1、读懂问题本身，2、读懂相应的背景资料，3、寻找别人的解决方法。适当添加条件就是添加假设，将问题可能的解析固定。建立模型1、固定符号；2、介绍原理；3、数学模型；．求出答案1、模型求解；2、参数讨论还原实际问题适度的讨论：总结与发挥最后，写成文章怎样写成文章呢？四个字：实话实说！或者：怎么做的就怎么写。摘要一篇数模文章的摘要和科技文章的摘要不同，它要比较详细：应该包括：主要问题的主要模型，主要的结果微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，

2、其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。NEWTON最早用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程是微分方程。他以非凡的积分技巧解决了它，从而在理论上证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆，澄清了当时关于地球将坠毁于太阳的一种悲观论点。自上世纪二十年代（特别是第二次世界大战）以来，微分方程的应用范围不断扩大并深入到机械、电讯、化工、生物、经济和其他社会学科的各个领域，各种成功的例子不胜枚举。在数学建模的活动中，微分方程也是一个常用的而且必须掌握的工具。从八十年代的数模活动以来，已有不少的问题必须使用微分方程来处理。这里，我们通

3、过几个例子来看看怎样利用微分方程来处理一些问题。第一节人口问题：一阶微分方程的应用咋一看，用微分方程来建立一个物种的增长模型几乎是不可能的，因为任何一个物种的群体总是整数变化的，因而不可能是时间的连续函数。不过，如果给定的群体很庞大，那么增加的单一个体和群体的规模相比是很微小的。所以我们可以近似假设大规模群体随时间是连续可微的变化，因而可用微分方程这一工具来研究。人口问题历史上许多人都研究过，象马尔萨斯、马克思、马寅初等等。这里介绍两个经典的模型。一马尔萨斯（Malthus，1766—1834）模型设时刻人口数为，则有（1）这个Ca

4、uchy问题的解为第一节建立微分方程模型这应该是两个问题:一是什么时候需要建立微分方程的模型?二是怎样建立微分方程的模型.在我看来,第一个问题是最关键的.那么,什么时候需要建立微分方程的模型呢?这要从我们的问题入手,在实际问题中,有许多表示”导数”的词,如”速率”、“增长”（在生物学及人口问题中）、“衰变”（在放射性问题中）、“边际”（经济问题中）等等。“改变”、“变化”、“增加”、“减少”这些词就是信号，要注意什么在变化，导数也许可以用上。另外，有些问题中没有明显地出现这些词，但在讨论中可能出现一些变量，关于这些变量的讨论就可能要

5、用到微分方程。怎样建立微分方程的模型呢？首先，想一想，问题是不是遵循什么原则或物理定律？是用已知的定律呢？还是要去推导问题的合适结果？如果是你不熟悉的领域，就要去找资料，或者请教专家。许多问题都遵循下面的模式：变化=输入－输出如果这个模式出现时你能理解它，可能微分方程就近在眼前了。其次，要注意：微分方程是一个在任何时候都正确的瞬时表达式。这是问题的核心。如果你找到了表示导数的关键词，就要想去找、及之间的关系。这个关系往往就是你要找的微分方程。建立微分方程，还有几个问题要注意：一是单位，要保持单位的一致；二是给定的条件，就是关于系统在

6、某一特定时刻的信息。它们独立于微分方程而存在，可以用它们来确定有关的参数。总结一下，在一个典型的微分问题中，以下的步骤是必须的：把用文字语言描述的情况转化为数学语言陈述所涉及的原则或物理定律建立微分方程给定条件求微分方程的解求出参数问题的答案最后，对照实际问题检验你的答案，想想答案的合理性，不足之处怎么解决。如果以上步骤都完成了，问题也就解决了。例子例一：减肥问题一个人怎样才能减肥呢？好象有许多方式，但归纳起来也就是物理或手术。而物理也不外乎两种：一是减少摄入量，二是增加消耗量。分析：若某人的食量是M卡/日，他每天的自动消耗为A卡/

7、日，他健身的消耗大约是B卡/公斤/日，假设以脂肪形式存在的热量100%有效，而1公斤脂肪含热量10000卡。看这个人的体重随时间变化情况。解：设这人时刻的体重为公斤显然，体重每天的变化=吸收量/天－消耗量/天取天消耗量/天=AB于是得到微分方程（注意单位）：其解为：其中C为参数，将初始值代入，得：C=若M=2500，A=1200，B=16，=100，则C=－300例二BobBeamon的跳远记录1968年的墨西哥奥运会上，BobBeamon创造了一个跳远记录：8.90米，这个成绩远超以前的成绩55cm。有人认为这是由于墨西哥城空气稀

8、薄造成的（墨西哥城海拔2600米），稀薄空气意味跳远者比较小的阻力。真是如此吗？我们这里提供一个分析由物理定律:这里代表空气阻力,有以下公式:其中代表阻力系数,通常取0.375，A代表跳远者和空气接触的面积,是空气密度。A=0.75;