用Matlab解微分方程.pdf

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1、用Matlab解微分方程一、微分方程的解析解求微分方程（组）的解析解用函数dsolve。dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)du2例1求1u的通解.dt解输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')结果：u=tan(t+C1)例2求微分方程的特解.2dydy429y02dxdxy)0(,0y)0('15解输入命令:y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')结果:y=3*exp(-2*x)*sin(5*x

2、)例3求微分方程组的通解.dx2x3y3zdtdy4x5y3zdtdz4x4y2zdt解输入命令：[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t')；结果为：x=exp(2*t)*C1+C2*exp(-t)-C2*exp(2*t)+exp(2*t)*C3-3*exp(-t)y=-C1*exp(-2*t)+exp(2*t)*C1+C2*exp(-2*t)+C2*exp(-t)-C2*exp(2*t)+exp(2

3、*t)*C3-C3*exp(-t)z=-C1*exp(-2*t)+exp(2*t)*C1-C2*exp(2*t)+C2*exp(-2*t)+exp(2*t)*C3二、微分方程的数值解（一）常微分方程数值解的定义在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。y'f(x,y)对常微分方程：，其数值解是指由初始点x0开始y(x)y00的若干离散的x值处，

4、即对xxxx，求出准确值y(x),012n1y(x),,y(x)的相应近似值y,y,,y。2n12n（二）建立数值解法的一些途径设xxh,i,2,1,0n,1可用以下离散化方法求解微分方程：i1iy'f(x,y)y(x)y001、用差商代替导数若步长h较小，则有y(xh)y(x)y('x)h故有公式：yyhf(x,y)i1iiii0,1,2,n,1-yy(x)00此即欧拉法。2、使用数值积分对方程y’=f(x,y),两边由x到x积分，并利用梯形公式，有：ii+1xi1xi

5、1xiy(x)y(x)ft,(y(t))dt[f(x,y(x))f(x,y(x))]i1iiii1i1xi2hyy[f(x,y)f(x,y)]故有公式：i1iiii1i12yy(x)00实际应用时，与欧拉公式结合使用：)0(yyhf(x,y)i1iii(k)1h(k)yy[f(x,y)f(x,y)]k,2,1,0i1iiii1i12(k)1(k)（k1）对于已给的精确度，当满足yy时，取yy，i1i1i1i1然后继续下一步y的计算。i

6、2此即改进的欧拉法。3、使用泰勒公式以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法。4、数值公式的精度当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式。k越大，则数值公式的精度越高。•欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。•龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。•线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。（三）用Matlab软件求常微分方程的数值解[t，x]=solver（’f’,ts,x,options）0ode45ode23由待解ts=[t，函数的0自变函数ode113ode15

7、s方程写tf]，t0、tf初值量值值ode23s成的m-为自变量文件名的初值和终值ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3,绝对误差10-6),命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.ode是Matlab专门用于解微分方程的功能函数，有ode23,ode45,ode23s等等，采用的是Runge-Kutta算法。ode45表示采用四阶，五阶R

8、unge-Kutta单步算法,解决的是Nonstiff(非刚性)的常微分程，是解决数值解问题的首选方法,若长时间没结果,应该就是刚性的,换用ode23来解.•ode23：解非刚性微分方程，低精度，使用Runge-Kutta（龙格-库塔