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1、5.3平面向量的数量积一、选择题1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )A．4 B．3C．2D．0解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案：D2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为( )A．0B.C.D.解析∵a·c＝a·＝a·a－a·b＝a2－a2＝0，又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故选D.答案 D3.设向量=（1.）与=（-1，2）垂直，则等于（）ABC.0D.-1解析正确的是C.答案C4．已知
2、a
3、＝6，
4、b
5、＝3，a·b＝－12，
6、则向量a在向量b方向上的投影是( )．A．－4B．4C．－2D．2解析 设a与b的夹角为θ，∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cosθ＝＝－，∴
7、a
8、cosθ＝6×＝－4.答案 A5．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则
9、a＋b－c
10、的最大值为( )．A.－1B．1C.D．2解析 由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为
11、a＋b－c
12、2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b
13、·c，所以有
14、a＋b－c
15、2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故
16、a＋b－c
17、≤1.答案 B6．已知非零向量a、b满足
18、a
19、＝
20、b
21、，若函数f(x)＝x3＋
22、a
23、x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，则〈a，b〉的取值范围是( )A.B.C.D.解析 ∵f(x)＝x3＋
24、a
25、x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，∴f′(x)＝0有两不相等的实根，∵f′(x)＝x2＋2
26、a
27、x＋2a·b，∴x2＋2
28、a
29、x＋2a·b＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4
30、a
31、2－8a·b＞0，即a·b＜
32、a
33、2，∵cos〈a，b〉＝，
34、a
35、＝
36、b
37、，∴cos〈a，b〉＜＝，∵0≤〈
38、a，b〉≤π，∴＜〈a，b〉≤π.答案 D7．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是( )．A.·B.·C.·D.·解析 由于⊥，故其数量积是0，可排除C；与的夹角是，故其数量积小于零，可排除D；设正六边形的边长是a，则·＝
39、
40、
41、
42、cos30°＝a2，·＝
43、
44、
45、
46、cos60°＝a2.答案 A二、填空题8．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则
47、a－3b
48、等于________．解析∵
49、a－3b
50、2＝a2－6a·b＋9b2＝10－6×cos60°＝7，∴
51、a－3b
52、＝.答案9.已知向量,，若，则的值为．解析答案10
53、．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.解析 设a与b夹角为θ，由题意知
54、a
55、＝1，
56、b
57、＝1，θ≠0且θ≠π.由a＋b与向量ka－b垂直，得(a＋b)·(ka－b)＝0，即k
58、a
59、2＋(k－1)
60、a
61、
62、b
63、cosθ－
64、b
65、2＝0，(k－1)(1＋cosθ)＝0.又1＋cosθ≠0，∴k－1＝0，k＝1.答案 111．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．解析 由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0
66、，即ke＋e1e2－2ke1e2－2e＝0，即k＋cos－2kcos－2＝0,化简可求得k＝.答案 12．在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(＋)·的值为________．解析：
67、
68、2＝
69、
70、2＋
71、
72、2＝8，
73、
74、＝
75、
76、，＋＝2，(＋)·＝2·＝
77、
78、2＝4.答案：4三、解答题13．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．解析：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b
79、·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为
80、a
81、cosθ.∴
82、a
83、cosθ＝＝＝－＝－.14．如图所示，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．(1)若∥，求x与y之间的关系式；(2)在(1)条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．解析 (1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，＝－＝(－x－4,2－y)．又∥且＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝
84、0，即x＋2y＝0.①(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋
