平面向量的数量积(19)

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1、5．4平面向量的数量积要点透视：1．两个向量的夹角：两个非零向量和，作=，=，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)，叫做两向量与的夹角。如果与的夹角是90°，则说与垂直，记作⊥2．两向量的数量积：已知两个非零向量和，它们的夹角为θ，则把数量

2、

3、·

4、

5、·cosθ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·=

6、

7、·

8、

9、·cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积为0.向量的数量积满足下列运算律：（1）·＝·；（2）(λ)·＝λ(·)＝·(λ)；（3）(＋)·＝·＋·．3．向量数量积的坐标运算：记＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2．4定理：两个向量a，b垂直的充要条

10、件是·=0.活题精析：例1．(2001年上海卷)若非零向量以，满足

11、+

12、=

13、－

14、，则与所成角的大小是.要点精析：由作向量和与差的平行四边形法则可知：

15、+

16、，

17、－

18、正好是以，为邻边的平行四边形的两对角线的长度，∵

19、+

20、=

21、－

22、．∴平行四边形是矩形，∴与所成角是90°．思维延伸：作平面向量的某些题目时，应注意与平面几何知识相结合．本例还可采用两边平方，得·=0.例2．(2003年天津卷)设，，是任意的非零向量，且相互不共线．（1）(·)－(·)=；（2）

23、

24、－

25、

26、<

27、－

28、；（3）(·)－(·)不与垂直；（4）(3＋2)·(3－2)=9

29、

30、2－4

31、}2．其中是真命题的有（）A．（1）

32、（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（2）（4）要点解析：(·)是与向量平行的向量(·)是与向量平行的向量，因此(·)与(·)不一定相等，因此（1）不正确．因为，，是任意的非零向量，是相互不共线，则根据三角形两边之差小于第三边可知（2）正确．[(·)－(·)]·＝(·)(·)－(·)(·)＝0，因此(·)－(·)与垂直，答案（3）不正确．(3＋2)·(3－2)=92－42=9

33、

34、2－4

35、

36、2，答案（4）正确，应选D。例3．(2001年天津卷)设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·等于（）A．B．－C．3D．－3要点精析：解法1：设A，B两点坐标

37、是(x1，y1)，(x2，y2)，则=(x1，y1)，=(x2，y2)，·=x1x2＋y1y2，又设过抛物线焦点(，0)的直线AB的方程是y=k(x－)，代人抛物线方程得4k2x2－4(k2+2)x+k2=0；∴x1x2＝，x1+x2=,y1y2=k(x1－)(x2－)=k2[x1x2－(x1+x2)+]，∴·＝x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2=－k2(x1+x2)+k2．应选B．解法2：取特殊位置．过抛物线y2＝2px焦点(，0)且与x轴垂直的直线与抛物线的交点是A(，1)，B(，－1)，∴·=×+1×(－1)=－，应选B．练习题一、选择题：1．已知向量，，是三个非零

38、向量，则下列命题中真命题的个数为（）（1）

39、·

40、=

41、

42、·

43、

44、//；(2)，反向·=－

45、

46、·

47、

48、；（3）

49、

50、=

51、

52、

53、·

54、=

55、·

56、；（4）⊥

57、+

58、=

59、－

60、；（5）·=·=.A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知A，B，C是坐标平面上的三个点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．A，B，C均不正确3．设向量，是两个非零向量，则(＋)2=2＋2是⊥的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件4．已知O为原点，点A，B的坐标为(a，0)，(0，a)，其中a>0，点

61、P在线段AB上，且=t(0≤t≤1)，则·的最大值是（）A．aB．2aC．3aD．a25．已知向量＝(－1，2)，=(3，m)，若⊥，则m的值为（）A．4B．5C．6D76．将函数log3(x＋1)－1的图像按＝(1，－2)平移后得到的函数解析式为（）A．y＝log3(x＋2)－3B．y＝log3x－3C．y＝log3(x+2)＋1D．y＝log3x＋1二、填空题：7．若

62、

63、=4，

64、

65、＝5，

66、+

67、＝，则·＝。8．抛物线y=4x2按向量＝(1，2)平移后，其顶点在一次函数y=x+的图象上，则b的值为。9．=(2，3)，＝(－4，7)，则在方向上的投影为．10．已知O为原点，点A，

68、B的坐标分别为(a，0)，(0，a)，其中常数a＞0，点P在线段AB上，且=t(0≤t≤1)，则·的最大值是．三、解答题：11．已知=(3，－1)，＝(，)，（1）若存在不同时为零的实数k和t，使得＝4＋(t2－3)，=－k+t，且，求k＝f(t)的解析式；（2）试确定f(t)的单调区间．12．已知，为两个非零向董，且

69、

70、=

71、

72、=

73、－

74、，求与＋的夹角．13．设＝，＝，若：

75、

76、=

77、

78、=

79、+

80、≠0，（1）求与的夹角；（2）设点C在以O为圆心过点A，B的圆上移动，且＝，求证：当++=时△ABC的面