实验1多元函数微分学(基础实验

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1、项目三多元函数微积分实验1多元函数微分学（基础实验）实验目的掌握利用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法,掌握计算二元函数极值和条件极值的方法.理解和掌握曲面的切平面的作法.通过作图和观察,理解二元函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.基本命令1.求偏导数的命令D命令D既可以用于求一元函数的导数,也可以用于求多元函数的偏导数.例如:求对x的偏导数,则输入D[f[x,y,z],x]求对y的偏导数,则输入D[f[x,y,z],y]求对x的二阶偏导数,则输入D[f[x,y,z],{x,2}]求对的混合偏导数,则输入D[f[x,y,z],x,y]…………2.求全微分的命令

2、Dt该命令只用于求二元函数的全微分时,其基本格式为Dt[f[x,y]]其输出的表达式中含有Dt[x],Dt[y],它们分别表示自变量的微分dx,dy.若函数的表达式中还含有其它用字符表示的常数,例如a,则Dt[f[x,y]]的输出中还会有Dt[a],若采用选项Constants->{a},就可以得到正确结果,即只要输入Dt[f[x,y],Constants->{a}]3.在平面上作二元函数的等高线的命令ContourPlot命令的基本格式为ContourPlot[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]例如,输入ContourPlot[x^2-y^2,{x,-2,2},{

3、y,-2,2}]则输出函数的等高线图(图1.1).该命令的选项比较多(详细的内容参见光盘中的实验案例库).如选项Contours->15表示作15条等高线,选项Contours->{0}表示只作函数值为0的等高线.图1.1实验举例86求多元函数的偏导数与全微分例1.1(教材例1.1)设求输入Clear[z];z=Sin[x*y]+Cos[x*y]^2;D[z,x]D[z,y]D[z,{x,2}]D[z,x,y]则输出所求结果.例1.2设求和全微分dz.输入Clear[z];z=(1+x*y)^y;D[z,x]D[z,y]则有输出再输入Dt[z]则得到输出例1.3(教材例1.2)设其中a

4、是常数,求dz.输入Clear[z,a];z=(a+x*y)^y;wf=Dt[z,Constants->{a}]//Simplify则输出结果:(a+xy)-1+y(y2Dt[x,Constants->{a}]+Dt[y,Constants->{a}](xy+(a+xy)Log[a+xy]))其中Dt[x,Constants->{a}]就是dx,Dt[y,Constants->{a}]就是dy.可以用代换命令“/.”把它们换掉.输入wf/.{Dt[x,Constants->{a}]->dx,Dt[y,Constants->{a}]->dy}输出为(a+xy)-1+y(dxy2+dy(x

5、y+(a+xy)Log[a+xy]))86例1.4(教材例1.3)设,求输入eq1=D[x==E^u+u*Sin[v],x,NonConstants->{u,v}](*第一个方程两边对x求导数,把u,v看成x,y的函数*)eq2=D[y==E^u-u*Cos[v],x,NonConstants->{u,v}](*第二个方程两边对x求导数,把u,v看成x,y的函数*)Solve[{eq1,eq2},{D[u,x,NonConstants->{u,v}],D[v,x,NonConstants->{u,v}]}]//Simplify(*解求导以后由eq1,eq2组成的方程组*)则输出其中D[

6、u,x,NonConstants->{u,v}]表示u对x的偏导数,而D[v,x,NonCosnstants->{u,v}]表示v对x的偏导数.类似地可求得u,v对y的偏导数.微分学的几何应用例1.5求出曲面在点(1,1)处的切平面、法线方程,并画出图形.解(1)画出曲面的图形.曲面的参数方程为输入命令Clear[f];f[x_,y_]=2x^2+y^2;p1=Plot3D[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2}];g1=ParametricPlot3D[{r*Sin[u]/Sqrt[2.],r*Cos[u],r^2},{u,0,2*Pi},{r,0,2}]则输出相应图形(图

7、1.2).86图1.2(2)画出切平面的图形.输入命令a=D[f[x,y],x]/.{x->1,y->1};b=D[f[x,y],y]/.{x->1,y->1};p[x_,y_]=f[1,1]+a(x-1)+b(y-1);g2=Plot3D[p[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2}];则输出切平面方程为及相应图形(图1.3).图1.3(3)画出法线的图形.输入命令ly[x_]=1+b(x-1)/a;lz[x_]=f[1,1]-(x-1)