圆锥曲线方程(2)

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时间:2018-12-27

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1、圆锥曲线教案对称问题教案 教学目标1.引导学生探索并掌握解决中心对称及轴对称问题的解析方法.2.通过对称问题的研究求解,进一步理解数形结合的思想方法,提高分析问题和解决问题的能力.3.通过对称问题的探讨,使学生会进一步运用运动变化的观点,用转化的思想来处理问题.教学重点与难点两曲线关于定点和定直线的对称知识方法是重点.把数学问题转化为对称问题,即用对称观点解决实际问题是难点.教学过程师:前面学过了几种常见的曲线方程,并讨论了曲线的性质.今天这节课继续讨论有关对称的问题.大家想一想:点P(x,y)、P′(x′,y′)关于点Q(x

2、0,y0)对称,那么它们的坐标应满足什么条件?师:P(x,y),P′(x′,y′)关于原点对称,那么它们的坐标满足什么条件?生:P和P′的中点是原点.即x=-x′且y=-y′.师:若P和P′关于x轴对称,它们的坐标又怎样呢?生:x=x′且y=-y′.师:若P和P′关于y轴对称,它们的坐标有什么关系?生:y=y′且x=-x′.师:若P和P′关于直线y=x对称,它们的坐标又会怎样?生:y=x′且x=y′.第14页共14页生:它们关于直线y=x对称.师:若P与P′关于直线Ax+By+C=0对称,它们在位置上有什么特征?生:P和P′必

3、须在直线Ax+By+C=0的两侧.师:还有补充吗?生:PP′的连线一定与直线Ax+By+C=0垂直.师:P与P′在直线Ax+By+C=0的两侧且与直线垂直就能对称了吗?生:还需要保证P和P′到直线Ax+By+C=0的距离相等.师:P与P′到直线Ax+By+C=0的距离相等的含义是什么?生:就是P与P′的中点落在直线Ax+By+C=0上,换句话说P与P′的中点坐标满足直线方程Ax+By+C=0.师:下面谁来总结一下,两点P(x,y)、P′(x′,y′)关于直线Ax+By+C=0对称应满足的条件?生:应满足两个条件.第一个条件是P

4、P′的连线垂直于直线Ax+By+C=0,第二个条件是P,P′的中点应落在直线Ax+By+C=0上.师:这两个条件能否用方程表示呢?(在黑板上可画出图形(如图2-72),可直观些)生:方程组:师:这个方程组成立说明了什么?它能解决什么问题?第14页共14页生:方程组中含有x′,y′,也可认为这是一个含x′,y′的二元一次方程组.换句话说,给定一个点P(x,y)和一条定直线Ax+By+C=0,可以求出P点关于直线Ax+By+C=0的对称点P′(x′,y′)的坐标.师:今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理,很有代表性.但也还有其

5、他方法,大家一起看下面的例题.例1 已知直线l1和l2关于直线2x-2y+1=0对称(如图2-73),若l1的方程是3x-2y+1=0,求l2的方程.(选题目的:熟悉对称直线方程)师:哪位同学有思路请谈谈.生:先求出已知两直线的交点,设l2的斜率为k,由两条直线的夹角公式可求出k,再用点斜式求得l2的方程.(让这位同学在黑板上把解题的过程写出来,大家订正.)由点斜式,l2的方程为4x-6y+3=0.师:还有别的解法吗?生:在直线l1上任取一点,求出这点关于2x-2y+1=0对称的点,然后再利用交点,两点式可求出l2的直线方程。

6、第14页共14页(让这位学生在黑板上把解题过程写出来,如有错误,大家订正.)解 由方程组:师:还有别的解法吗?生:在l2上任取一点P(x,y),则P点关于2x-2y+1=0对称的点P′(x′,y′)在l1上,列出P,P′的方程组,解出x′,y′,代入l1问题就解决了.师:请你到黑板上把解题过程写出来.解 设P(x,y)为l2上的任意一点,则P点关于直线2x-2y+1=0对称,点P′(x′,y′)在l1上(如图2-75),第14页共14页又因为P′(x′,y′)在直线l1:3x-2y+1=0上,所以3·x′-2y′+1=0.即l

7、2的方程为:4x-6y+3=0.师:很好,大家刚才的几种解法是求对称直线方程的常规方法.那么,如果把l1改为曲线,怎样求曲线关于一条直线对称的曲线方程呢?引申:已知:曲线C:y=x2,求它关于直线x-y-2=0对称的曲线方程.(选题目的:进一步熟悉对称曲线方程的一般方法.)师:例1中的几种解法还都适用吗?生:第二种和第三种方法还能适用.师:谁来试一试?生:可先在y=x2上任取一点P0(x0,y0),它关于直线的对称点P′(x1,y1),可得它们的交点,从中解出x0,y0代入曲线y=x2即可(如图2-76).第14页共14页(让

8、学生把他的解法写出来.)解 设P0(x0,y0)是曲线C:y=x2上任意一点,它关于直线x-y-2=0对称的点为P′(x1,y1),因此,连结P0(x0,y0)和P′(x1,y1)两点的直线方程为y-y0=-(x-x0).师:还有不同的方法吗?生:用两点关于直线对称的方法也能

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