双曲线几何性质的应用

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1、双曲线几何性质的应用举例1．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)A.－＝1　B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案：B2．设P是双曲线－＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若

2、PF1

3、＝3，则

4、PF2

5、等于(　　)A．7B．6C．5D．3答案：A3．(2011·湖南高考)设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)A．4B．3C．2D．1答案：C4．如图1所示，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC、

6、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为(　　)A．1B．2C.D．2答案：C5．直线y＝k(x＋)与双曲线－y2＝1有且只有一个公共点，则k的不同取值有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个答案：D6．已知点F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)A．(＋1，＋∞)B．(1，)C．(1,1＋)D．(，＋∞)答案：C7．已知圆C过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双

7、曲线中心的距离是________．答案：8．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．图3答案：9．双曲线中心在原点，一个焦点坐标为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则双曲线的方程为________．答案：－＝110．(10分)双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，且经过点(3，－2)．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A、B两点，求

8、AB

9、.11．(15分)过双曲线M：x2－＝1的左顶点A作

10、斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且

11、AB

12、＝

13、BC

14、，求双曲线M的离心率．12．(15分)直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．　双曲线几何性质的应用举例1．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)A.－＝1　B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：由已知可知双曲线的焦点在y轴上，从而可设方程为－＝

15、1(a>0，b>0)．∵顶点为(0,2)，∴a＝2.又∵实轴长与虚轴长之和等于焦距的倍，∴2a＋2b＝2c.又∵a2＋b2＝c2，∴解得b2＝4.∴所求方程为－＝1.答案：B2．设P是双曲线－＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若

16、PF1

17、＝3，则

18、PF2

19、等于(　　)A．7B．6C．5D．3解析：由方程可得渐近线为y＝±x，∴＝.∴a＝2.又∵

20、PF1

21、＝3小于两顶点间的距离4，∴点P只能在双曲线的左支上．∴由

22、PF2

23、－

24、PF1

25、＝2a，得

26、PF2

27、＝

28、PF1

29、＋2a＝3＋4＝7.答案：A3

30、．(2011·湖南高考)设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)A．4B．3C．2D．1解析：双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0，整理得3x±ay＝0，故a＝2，选C.答案：C图14．如图1所示，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为(　　)A．1B．2C.D．2解析：如题图，设AB＝2c，由于∠CAB＝∠CBA＝30°，则AE＝BD＝c，BE＝AD＝c.则椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，故两个离心率的倒数和为.答案：C5．直

31、线y＝k(x＋)与双曲线－y2＝1有且只有一个公共点，则k的不同取值有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由已知可得，双曲线的渐近线方程为y＝±x，顶点(±2,0)，而直线恒过(－，0)，故有两条与渐近线成平行，有两条切线，共4条直线与双曲线有一个交点，故选D.答案：D6．已知点F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)A．(＋1，＋∞)B．(1，)C．(1,1＋)D．(，＋∞)图2解析：如图2所示．由于∠F1AB＝∠F1BA，△ABF

32、1为锐角三角形，故∠AF1B为锐角．故只需要∠AF1F2<45°即