平面向量的数量积及运算律(1)

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1、高中数学教案第五章平面向量的数量积及运算律（2）（第10课时）课题：平面向量的数量积及运算律（二）教学目标：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析： 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质. 教学过程：一、复习引入：1．两个

2、非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.C2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量

3、a

4、

5、b

6、cosq叫ａ与ｂ的数量积，记作a×b，即有a×b=

7、a

8、

9、b

10、cosq，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0。3．“投影”的概念：作图定义：

11、b

12、cosq叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0°时投影为

13、b

14、；当q=180°时投影为-

15、b

16、。4．向量的数量积的几何意义：数量积a×b等

17、于a的长度与b在a方向上投影

18、b

19、cosq的乘积。5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。1°e×a=a×e=

20、a

21、cosq；2°a^bÛa×b=0第5页（共5页）高中数学教案第五章平面向量的数量积及运算律（2）（第10课时）3°当a与b同向时，a×b=

22、a

23、

24、b

25、；当a与b反向时，a×b=-

26、a

27、

28、b

29、。特别的a×a=

30、a

31、2或4°cosq=；5°

32、a×b

33、≤

34、a

35、

36、b

37、7．判断下列各题正确与否：1°若a=0，则对任一向量b，有a×b=0。(√)2°若a¹0，则对任一非零向量b，有a×b¹0。(×)3°若a¹0，a×b=0，则b=0。(

38、×)4°若a×b=0，则a、b至少有一个为零。(×)5°若a¹0，a×b=a×c，则b=c。(×)6°若a×b=a×c，则b=c当且仅当a¹0时成立。(×)7°对任意向量a、b、c，有(a×b)×c¹a×(b×c)。(×)8°对任意向量a，有a2=

39、a

40、2。(√)二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a×b=b×a证：设a，b夹角为q，则a×b=

41、a

42、

43、b

44、cosq，b×a=

45、b

46、

47、a

48、cosq∴a×b=b×a2．数乘结合律：(a)×b=(a×b)=a×(b)证：若>0，(a)×b=

49、a

50、

51、b

52、cosq，(a×b)=

53、a

54、

55、b

56、cosq，a×(b)=

57、a

58、

59、b

60、c

61、osq，若<0，(a)×b=

62、a

63、

64、b

65、cos(p-q)=-

66、a

67、

68、b

69、(-cosq)=

70、a

71、

72、b

73、cosq，(a×b)=

74、a

75、

76、b

77、cosq，a×(b)=

78、a

79、

80、b

81、cos(p-q)=-

82、a

83、

84、b

85、(-cosq)=

86、a

87、

88、b

89、cosq。3．分配律：(a+b)×c=a×c+b×c在平面内取一点O，作=a,=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即

90、a+b

91、cosq=

92、a

93、cosq1+

94、b

95、cosq2∴

96、c

97、

98、a+b

99、cosq=

100、c

101、

102、a

103、cosq1+

104、c

105、

106、b

107、cosq2∴c×(a+b)=c×a+c×b即：(a+b)×c=a×c+b×c说明：

108、（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２第5页（共5页）高中数学教案第五章平面向量的数量积及运算律（2）（第10课时）三、讲解范例：例1已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角。解：由(a+3b)(7a-5b)=0Þ7a2+16a×b-15b2=0①(a-4b)(7a-2b)=0Þ7a2-30a×b+8b2=0②两式相减：2a×b=b2代入①或②得：a2=b2设a、b

109、的夹角为q，则cosq=∴q=60°例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。解：如图：ABCD中，，，=∴

110、

111、2=而=∴

112、

113、2=∴

114、

115、2+

116、

117、2=2=例3四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·