偏微分程数值求解以及运算结果展

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1、汕头大学工学硕士学位论文第四章偏微分程数值求解以及运算结果展示§4.1偏微分方程数值求解和水平集方法用于处理图像问题的偏微分方程比较复杂，往往无法求出一个解析解，通常是求数值逼近解。因此，理论上说，偏微分方程数值求解的一般方法都可以拿到图像偏微分方程的求解中来使用。从原则上说，由于图像偏微分方程是利用微分几何的方法来描述一幅图像，以及一个图像处理问题。而图像信息主要蕴含在像素灰度级的跳变（图像边缘信息），以及表变得几何分布上。因此，图像偏微分方程往往具有其复杂性。而图像偏微分方程的求解，往往需要复杂的技巧性。常用的偏微分方程数值求解方法有：有限差分法，有限

2、单元法，边界元法等等，其中，对图像偏微分方程求解主要使用有限差分法，迎风格式的有限差分法在图像偏微分方程求解中广泛地使用。目前在偏微分图像处理中，通常辅以使用Osher和Sethian提出的水平集方法（LevelSetMethod）进行数值求解。§4.1.1图像偏微分方程数值求解水平集方法（LevelSetMethod）最初由Osher和Sethian提出[]，其主要思想是将曲线、曲面和图像演化表示为更高维数的超平面水平集，其演化速度是该曲线或曲面的局部曲率的函数。因此，水平集方法可以看作是使用欧拉方法求解隐性偏微分方程的一种具体实现方式，具体地说，以计算

3、的复杂度换取对拓扑变化的适应性，能处理比较困难的曲线或曲面演化过程拓扑结构变化问题。水平集法一般需要有初始的轮廓线或轮廓面和速度图像。其中初始轮廓线或轮廓面一般由用户手工勾划出或输入种子点代替。速度图像可以根据图像的特征如曲率、平均曲率或梯度而定。水平集演化产生的图像是一个时间的函数图像,称为时间距离图（Time-DistancePlane）。即对每个象素,轮廓前沿到达此象素所经历的最短时间。通过指定一个停止阈值,当前沿进化迭代到一定数目时停止,这就产生了以演化时间为参数的等值面序列,直至完成图像处理任务。初始化水平集方法时，需要区分两维闭合曲线的内外部，

4、以构造符号距离函数（Signed汕头大学工学硕士学位论文DistanceFunction），而如何区分任意形状闭合曲线（闭合曲面）的内外部是一个比较烦琐的问题。另外，水平集方法迭代过程中，为了计算稳定，往往要间隔地对水平集函数重新初始化（Re-initialization），而常规的直接计算点与曲线距离的初始化方法[5]计算时间较长，大大增加了计算量。因此，如何有效而快速地进行水平集函数的重新初始化，对提高水平集方法的计算效率很有意义。水平集方法进行数值求解，在偏微分方程图像处理领域已经得到了广泛的应用。比如，Alvarez[9]以及Malladi，Set

5、hian[5]等用水平集去除图像噪声；Parogios以水平集方法进行纹理分割以及运动目标分割[7,8]；Bertalmio等将水平集方法应用于图像变形和破损图像修复（Inpainting）中[10,11]；Mansouri将水平集运用于运动目标跟踪邻域[12]；Fuaeras和Keriven[13]以水平集方法解决立体匹配问题。在计算过程中，所有网格点上的函数值都有更新的计算。因此计算量往往是很庞大的，尤其是对于计算用于图像处理的偏微分方程时，更是如此。复杂的计算方法所换来的优势是，曲线的拓扑结构变化处于整个算法的控制之下。因为不论曲线如何变化，它始终处

6、于平面或空间网格中，而演化后的轮廓跟踪步骤可以得到平面上任何位置的曲线。因此，水平集方法求解也大大促进了曲率方程曲线演化模型的迅速发展[66]。§4.1.2水平集方法图像微分方程作的求解，通常使用的必要工具是图像的水平线（LevelSetContours），即，图像的水平集各自对应的边界线。在这个框架下，一幅图像就由一系列的零水平集函数表示。图像处理的过程就表现为相应的图像的水平线的移动/演化过程。因此，在流体力学中表达各种曲率流的方程在图像处理中得到了广泛的应用。水平集方法中，图像偏微分方程可以用一个普遍的表达式来表示。一幅图像可以由一系列的零水平集函数

7、表示。图像处理的过程表现为水平集函数组所约束的曲线（称为水平线）的演化过程。我们可以把以上所述的图像偏微分方程用一个普遍的表达式来表示。设：表示一幅灰度图像，而是灰度值。引入迭代次数参量（“伪时间”参量），图像的变化可以用偏微分演化方程：汕头大学工学硕士学位论文是随时间变化的图像，而是初始条件，是表示所使用的算子。偏微分方程的解给出了伪时刻时（即迭代次数为）图像的状态。对于矢量值图像，可以建立相应的偏微分方程组。在这个框架下表示曲线（轮廓线，水平线）的演化方程。对于曲线是的函数。曲线的演化视为在法线方向上的变形，而变形速度与相应曲线或曲面的曲率有关，方程如

8、下=N其中：是曲率，N是曲线的法矢量，是曲线演化算子。有时，方程中