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《偏微分一维热传导问题——运用隐式格式求解数值解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、偏微分大作业一维热传导方程问题运用隐式格式求解数值解目录问题描述31解析解一一分离变量法32数值解——隐式格式53证明隐式格式的相容性与稳定性54数值解——分析与Matlab实现65数值解与解析解的比较96随时间变化的细杆上的温度分布情况117稳定后细杆上的温度分布情况12参考文献13附录14有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入100°C的沸水中，当细杆的温度达到100°C吋取出。假设细杆四周绝热；在时间t二0时，细杆两端浸入o°c的冰水中。一维热传导方程：Ut-a2uxx=0,现在令a2=1,从而可知本题：色一以兀=°。现在要求细杆温度分布：讥兀丿）
2、。1解析解一一分离变量法热传导偏微分方程：Ut~Uxx(I)U(0,t)=M(l,t)=0Iu(x，0)=其中，0,x=0或兀=1100,xe(0,l)首先令：u(x,t)=X(x)T(t)⑵将⑵式带入⑴式得：X(x)t(/)-T(r)X(x)=0于是可得：T(r)_X(x)_：可以得到两个微分方程：T(t)+AT(t)=0X(x)+AX(x)=0先求解空间项：当A<0时，X(兀)=Ae~^x+Be®由于％(0,t)=w(l,t)=0,Vl可知：由于解的收敛性，B=0X(0)=X(l)=A二4戶=0nA=0则此吋是平庸解。当2=0时,X(x)=A+BxX(Q)=X(1)
3、=A=A+B=O^A=O,B=O则此时是平庸解。当久>0n寸，X(x)=Acoskx+Bsinkx，其l]koX(0)=A=0nA=0X(1)=Bsink=0=>£=n兀，n=1,2,3…所以，X(x)=Bnsin(n^x),n=1,2,3...因为A=n1兀222所以，TQ)=C0W,斤=1,2,3…则，oou(x,t)=>D0"fsin(wx)n=初始条件:u(x,0)=(p(x)oo况(兀,0)=工Drsin(n^x)=(p(x)n=Dn=2J)0(x)sin(n7rx)dx=2f100sin(7vrx)dx=200•(-1n7t)[cosn7r(l-£*)
4、-cosn/ve]当£T0时AimDn=£Too200U71(1一COSn7r)最终,n=123…u(x,t)=V(1-(-1)"sin(zvrx)2数值解一一隐式格式目前，研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。这里使用隐式格式山。uk+[-uk利用仇（兀/）,关于t进行向前差商：」丄；关于x进行二阶屮心差:U：；；2U『+U；：（M代入偏微分方程可以得到隐式差分格式：(1)U；'-IJkju：＜-2U；'+U：]3证明隐式格式的相容性与稳定性(i)相容性根据Taylor展开:ruk+[=uk+^-JJdtTTk+TTk丄3Uj—rTTk+l“k丄3Uij二r
5、ld2Ut+2W厂+°(尸)ia2c/t+dt2d2U2at/r+——dx2BU1AuXH—721d2U%+2a7X2+0(F)+o(X3)X3)代入隐式格式得：du1d2Ud2U示巧击t+o（宀菁+°（尸）+°（X）将（2）与原微分方程相减，得到截断误差1d2U〃匕萨山xW°所以此隐式格式与原微分方程相容。（2）稳定性令网格比为r=—,则口J以将（1）式改写得到:-rU：：+(1+2门U-心;:=U：(3)首先令:将（4）代入（3）「U胃U；'=UMeIOjIU'=Uke10j〜［/；：：=0+i严J+i）式，根据欧拉公式化简得：严（1+2厂一2厂cos&）W(4)(
6、5)故得放大因子是:G=^=<1Uk1+2厂(1—COS&)所以根据Fourier方法，隐式格式恒稳定。4数值解分析与Matlab实现（1）边值与初值离散化将边值与初值离散化，与式（3）联立得差分线性方程组:tU；：+(1+20U-rU^=U；疋(0丄2,…,M・l)艇(0,1,2,…，N・l):U[=(pdj),S=o,<比=0,八(0丄2,…,M)心0,1,2,…,N)展(0,1,2,…,N)再将方程组改写成AU=B的形式:1+2厂-r—r1+2r-r-rl+2r••••••■•'+rt/o+1'■•••—r•l+2r-r•uMuM-2•uk-rl+2r_uk+1L
7、VM-lJuk+rUk+[本题的边界条件均为零。所以可以将上式改写。uj■■■叮■■—r■uk+]UM-2■ukUM-2l+2rLv」LM-lJl+2r—r1+2厂-r-rl+2r-r-r1+2厂••••••—r(2)Matiab的实现＞杆长1米，时间2秒。设计空间步长h=0.1和时间步长t二0.01，网格比是厂=厶。h2从而得到划分的空间网格点数是M14-1,时间网格点数是M2+1。先设初始的温度矩阵U(M2+1,M1+1)。再将边界条件和初始条件编写到表示温度分布的矩阵屮。具体代码可见最后附录。＞编写矩阵A核心代码：对角线：A(i,i
