第29讲平面向量的应用

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1、第29讲　平面向量的应用项目一知识概要1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝＝(θ为a与b的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以

2、用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝

3、F

4、

5、s

6、cosθ(θ为F与s的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．项目二例题精讲任务一　平面向量在

7、平面几何中的应用问题【例1】如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.分析　正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明．证明　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0<λ<)，则A(0,1)，P(λ，λ)，E(1，λ)，F(λ，0)，∴＝(－λ，1－λ)，＝(λ－1，－λ)，∴

8、

9、＝＝，

10、

11、＝＝，∴

12、

13、＝

14、

15、，即PA＝EF.评注　用向量方法解决平面几何问题可分三步：(1)建立平面几

16、何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．任务二　平面向量在三角函数中的应用问题【例2】　已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos取最大值时，B的大小．分析　向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．因此这种题目较为简单．解析

17、　(1)∵p∥q，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0，∴sin2A＝，sinA＝，∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°.(2)y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°＝1－cos2B＋sin2B＝1＋sin(2B－30°)，当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2.评注　解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，

18、将其转化为三角函数中的有关问题解决．任务三　平面向量在解析几何中的应用问题【例3】　已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．分析　(1)直接利用数量积的坐标运算代入；(2)将·转化为关于y的函数，求函数的最值．解析　(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．由(＋)·(－)＝0，得

19、

20、2－

21、

22、2＝0，即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化简得＋＝1.所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1.(2)∵＝＋

23、，＝＋，又＋＝0.∴·＝2－2＝x2＋(y－1)2－1＝16(1－)＋(y－1)2－1＝－y2－2y＋16＝－(y＋3)2＋19.∵－2≤y≤2.∴当y＝－3时，·的最大值为19，当y＝2时，·的最小值为12－4.综上：·的最大值为19；·的最小值为12－4.评注　平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．任务四　平面向量在物理学中的应用问题【例4】　在长江南岸渡口处，江水以km/h的速度向东流，渡船的速

24、度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．