高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)变化率与导数、导数的计算(含解析

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1、第十一节变化率与导数、导数的计算[知识能否忆起]一、导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

2、x＝x0，即f′(x0)＝＝.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．二、基本初等函数

3、的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝三、导数的运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；3.′＝(g(x)≠0)．(理)4.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u

4、)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[小题能否全取]1．(教材习题改编)若f(x)＝xex，则f′(1)＝(　　)A．0　　　　　　　　　　B．eC．2eD．e2解析：选C　∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.2．曲线y＝xlnx在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为(　　)A．2B．－2C.D．－解析：选A　依题意得y′＝1＋lnx，y′x＝e＝1＋lne＝2，所以－×2＝－1，a＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt

5、2(g＝10m/s2)，则当t＝2s时，它的加速度是(　　)A．14m/s2B．4m/s2C．10m/s2D．－4m/s2解析：选A　由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．4．(2012·广东高考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y′＝3x2－1，∴y′x＝1＝3×12－1＝2.∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝05．函数y＝xcosx－sinx的导数为________

6、．解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.答案：－xsinx　　1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是

7、唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．利用导数的定义求函数的导数典题导入[例1]　用定义法求下列函数的导数．(1)y＝x2；　(2)y＝.[自主解答]　(1)因为＝＝＝＝2x＋Δx，所以y′＝＝(2x＋Δx)＝2x.(2)因为Δy＝－＝－，＝－4·，所以＝＝－.由题悟法根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3)计算导数f′(x0)＝li.以题试法1．一质

8、点运动的方程为s＝8－3t2.(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)．解：(1)∵s＝8－3t2，∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2，＝＝－6－3Δt.(2)法一(定义法)：质点在t＝1时的瞬时速度v＝li＝li(－6－3Δt)＝－6.法二(导数公式法)：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′(t)＝(8－3t2)′＝－6t.当t＝1时，v＝－6×1＝－6.导数的运算典题导入[例2]　求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝；[自主解答

9、]　(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′