高数期末复习题(1)

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1、期末考试题型：一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）二、选择题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）三、计算题（本题共3小题，每小题约10分，满分约30分.）四、应用题（本题共2小题，每小题约10分，满分约20分.）五、证明题（满分约10分.）一、填空题1．已知，则.2．设在点处连续，则.23．若，则.4．设则5．函数的可去间断点为.x=06.设函数由方程确定,则=.7.设函数由参数方程确定,则=.8.曲线上对应于的点处的法线的斜率是.9.设函数，则极限.10.极限=.二、选择题1

2、．函数在处[](A)不连续；(B)连续但不可导；(C)连续且；(D)连续且.2．若则[](A)；(B)；(C)；(D)；93．是在x0的某一去心邻域内无界的[A](A)充分但非必要条件.(B)必要但不充分条件.(C)充分且必要条件.(D)既非充分又非必要条件.4．设在上连续，且则[D].(A)；(B)；(C)；(D).5.[D](A);(B)1;(C)2;(D).6.若曲线和在点处相切,其中是常数,则[D]....7.设函数,则当时,[B]与是等价的无穷小.与是同阶但不是等价的无穷小.是比高阶的

3、无穷小.是比低阶的无穷小8.当时,函数是[D]无穷小量.无穷大量.有界但非无穷小量.无界但非无穷大量.9.函数的可去间断点的个数是[C]...　　　　无穷多个.10.设函数在点可导,为常数,则极限_______.[C]....11.设在的某个邻域内有定义,则在处可导的充分条件是[D]9存在.存在.存在.存在.三、计算题1.求极限.解:当时，,,于是.2.设,求解:作代换，得：原式.3.若函数在时取极值10，求解：由已知条件,，有两组解：；4.设函数在区间上连续,且满足方程,求.解：设则，将其代入

4、原方程得，解得，所以，5.设函数（1）确定的单调性；（2）确定在上是否有极值，若有，求出极值；（3）确定在上的最大值与最小值.解:（1）因为，所以，，从而单调递增；(2)无极值；9（3）由（1）可知6.求：解:原式=7.求解：，，，于是,8.求不定积分解:换元..9.求不定积分.解：先分部积分,再换元..令，则，则.于是，.10.计算定积分.9解：.11.计算广义积分.解：.12.计算广义积分.解：无界函数的反常积分.瑕点在中间,则应分两个区间进行积分..四、应用题1.求微分方程满足条件的特解.

5、解1:常数变易法.变形为标准型.相应的齐次方程的通解为或者.令是原方程的解,代入原方程得,即.积分得.故原方程的通解为.由初值条件，得.解2:积分因子法.变形为标准型，积分因子为.方程两端乘积分因子，得.凑微分得，积分得.由初值条件，得.解3:公式法.9.由初值条件，得.2.设连续.(1)求微分方程满足的解;(2)若,求证当时,有.解:这是一阶线性微分方程,用公式得通解.由初值条件得特解.在特解中是一个原函数(可以是任意一个原函数),于是可以用积分上限函数代替.因此所求特解为.(2)当时,.3.

6、求函数在区间上的最小值.解:令,得唯一驻点.当时，;当时，，所以，在处取到极小值，与比较，可知在处取到最小值.4.求曲线()的拐点.解:函数在区间连续.求导得.令得，这时.当时，当时，.所以为拐点.5.求抛物线与直线所围图形绕轴旋转所成立体的体积.96.求位于曲线下方，轴上方的无界图形的面积.解：.7.求曲线与轴所围成的图形的面积解：与轴有三个交点，先画简图,知轴上下各有一个区域,在区间,;在区间,,因此.8.设是位于曲线下方,轴上方的无界区域.(1)求区域绕轴旋转一周所得旋转体的体积;(2)当

7、为何值时,最小?并求此最小值.思路:有两个公式计算绕轴旋转一周所得旋转体的体积.一个可以称为圆盘公式:,它是圆面积的积分.另一个称为圆柱公式:,它是圆柱面面积的积分.解：(1).(2),由,得.当时,;当时,,从而,为极小值点.由其唯一性可知:当时,最小,且.五.证明题1.设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且若极限存在，证明：（1）在内；（2）在内存在点，使；9(3)在内存在与(2)中相异的点，使.证明(1)因为存在，故又，于是在内单调增加，于是，.(2)设,，显然满足柯西中值定理的条件，于

8、是在内存在点，使，即：亦即.(3)因，在上应用拉格朗日中值定理，知在内存在一点，使，从而由(2)的结论得：，于是，.2.设,证明不等式:.证法1：单调性证不等式.令,则,,，,，,.当时,;当时,.由极值的一阶导数条件,在处取到最小值.因为,所以当时,.由单调判定定理,在单调增加.由,当时,;当时,.由极值的一阶导数条件,在处取到最小值.因此在处处有,即有.证法2：令,则9，=,.由单调判定定理,当时,;当时,.于是当时,,即.注:也可令来处理.3.证明：当x>0时，.证明：令，，，所以，单调增